Ces limites sont donc
et
si
et
sont des quantités positives. Ainsi l’on aura, en prenant l’intégrale dans ces limites,
![{\displaystyle y_{s}=\mathrm {A} \int x^{n+s-1}dx(p-x)^{n'-n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1861a11213a0eede9617776a7f4502e99abc5d8)
On déterminera la constante
, au moyen d’une valeur particulière de
Soit
cette valeur ; on aura
![{\displaystyle \mathrm {A} ={\frac {y_{\mu }}{\int x^{n+\mu -1}dx(p-x)^{n'-n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b24e6cadd39ccc264d896b5d152fb95dc7f8389)
par conséquent,
![{\displaystyle y_{s}={\frac {y_{\mu }\int x^{n+s-1}dx(p-x)^{n'-n}}{\int x^{n+\mu -1}dx(p-x)^{n'-n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c844b5fdef5ad77954e79e45fa18907f61f6e972)
Intégrons présentement l’équation proposée aux différences en
Son intégrale est
![{\displaystyle y_{s}={\frac {(n+\mu )(n+\mu +1)\ldots (n+s-1)}{(n'+\mu +1)(n'+\mu +2)\ldots (n'+s)}}y_{\mu }p^{s-\mu }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c0360145752434c46ea53a6c1941965b6554805)
Dans cette expression, comme dans toutes celles formées de produits, les facteurs du numérateur ne commencent que pour la valeur de
qui rend le dernier facteur égal au premier, ce qui a lieu ici lorsque
est égal à
il en est de même des facteurs du dénominateur. Pour la valeur de
égale à
le numérateur et le dénominateur se réduisent à l’unité qui est censée les multiplier l’un et l’autre. Si l’on compare les deux expressions précédentes de
on aura
![{\displaystyle {\frac {(n+\mu )(n+\mu +1)\ldots (n+s-1)}{(n'+\mu +1)(n'+\mu +2)\ldots (n'+s)}}p^{s-\mu }={\frac {\int x^{n+s-1}dx(p-x)^{n'-n}}{\int x^{n+\mu -1}dx(p-x)^{n'-n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d735c03a24a1e94ee2550833dff1b81ec15a00eb)
Faisons
le second membre de cette équation deviendra
![{\displaystyle p^{s-\mu }{\frac {\int u^{2n'-2n+1}du\left(1-u^{2}\right)^{n+s-1}}{\int u^{2n'-2n+1}du\left(1-u^{2}\right)^{n+\mu -1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfe4974b425d2ae26abb4c2a351fa1b3b914bd54)
les intégrales étant prises depuis
jusqu’à
parce que ces limites répondent aux limites
et
On a donc
![{\displaystyle {\frac {(n+\mu )(n+\mu +1)\ldots (n+s-1)}{(n'+\mu +1)(n'+\mu +2)\ldots (n'+s)}}={\frac {\int u^{2n'-2n+1}du\left(1-u^{2}\right)^{n+s-1}}{\int u^{2n'-2n+1}du\left(1-u^{2}\right)^{n+\mu -1}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfd717aa04543a3e812f136b0583af0a84dc58aa)