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LIVRE PREMIER.
Comme
a trois valeurs, l’expression de
prend cette forme, par le no 29,
![{\displaystyle y_{s}=\mathrm {A} \int x^{s-1}dx\left[1-\left(z+{\frac {1}{x}}\right)^{2}\right]^{-{\frac {1}{2}}}+\mathrm {A} '\int x^{s-1}dx\left[1-\left(z+{\frac {1}{x}}\right)^{2}\right]^{-{\frac {1}{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccbe6f7dd9a92b144f12ce41cc2542df7d3dc39c)
et
étant des constantes arbitraires, et la première intégrale étant prise depuis
jusqu’à
et la seconde étant prise depuis
jusqu’à
Si l’on fait
![{\displaystyle x={\frac {z+\cos \varpi }{1-z^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdd5d8a620c683dd4a903c84f84b67ed64de76cf)
l’expression précédente de
devient
![{\displaystyle y_{s}=\mathrm {B} \int {\frac {d\varpi (z+\cos \varpi )^{s}}{\left(1-z^{2}\right)^{s+{\frac {1}{2}}}}}+\mathrm {B} '\int {\frac {d\varpi (z+\cos \varpi )^{s}}{\left(1-z^{2}\right)^{s+{\frac {1}{2}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f5d0b811c5326b373ebbd1b7a54f0a1a614b5b4)
la première intégrale étant prise depuis
jusqu’à
égal à l’angle dont le cosinus est
et la seconde étant prise depuis ce dernier angle jusqu’à
Pour déterminer les arbitraires
et
on observera que
![{\displaystyle y_{0}={\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}},\qquad y_{1}={\frac {z}{\left(1-z^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e77f48dbf2a819295dd566e53e268462c8c74b4)
d’où il est facile de conclure
![{\displaystyle \mathrm {B=B'} ={\frac {1}{\pi }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ded768df18e6f6587da986a1c6b3b5edaf44ca05)
partant
![{\displaystyle y_{s}={\frac {1}{\pi \left(1-z^{2}\right)^{s+{\frac {1}{2}}}}}\int d\varpi (z+\cos \varpi )^{s},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5e869dd5144bef43253ed7877e1fbc1b996b485)
l’intégrale étant prise depuis
jusqu’à
En prenant cette intégrale et observant que
![{\displaystyle \int d\varpi \cos ^{2r}\varpi ={\frac {1}{2^{2r}}}\int d\varpi \left(c^{\varpi {\sqrt {-1}}}+c^{-\varpi {\sqrt {-1}}}\right)^{2r}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3456ace030891036ed632e0113eb30532de8c44c)
![{\displaystyle ={\frac {1.2.3\ldots 2r}{2^{2r}(1.2.3\ldots r)^{2}}}\pi ={\frac {1.3.5\ldots (2r-1)}{2.4.6\ldots 2r}}\pi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/552a6c946e13117252a814dbe1538cb5f6ee65e8)