Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 7.djvu/416

à leur rang. Le nombre des cas dans lesquels $s$ boules sortent à leur rang est, par ce qui précède,

$(b)\quad {\frac {n(n-1)(n-2)\ldots (n-s+1)}{1.2.3\ldots s}}$

$\times r^{s}(rn-s)(rn-s-1)\ldots (rn-n+1),$

pourvu que l’on retranche de cette fonction les cas qui sont répétés. Ces cas sont ceux dans lesquels $s+1$ boules sortent à leur rang, car ils peuvent résulter, dans la fonction, de $s+1$ boules prises $s$ à $s\,;$ ces cas sont donc répétés $s+1$ fois dans cette fonction ; par conséquent il faut les retrancher $s$ fois. Or le nombre des cas dans lesquels $s+1$ boules sortent à leur rang est

${\frac {n(n-1)(n-2)\ldots (n-s)}{1.2.3\ldots (s+1)}}$

$\times r^{s+1}(rn-s-1)(rn-s-2)\ldots (rn-n+1).$

En le multipliant par $s$ et le retranchant de la fonction $(b),$ on aura

$(b')\qquad \left\{{\begin{aligned}&{\frac {n(n-1)(n-2)\ldots (n-s+1)}{1.2.3\ldots s}}\\&\qquad \qquad \times r^{s}(rn-s)(rn-s-1)\ldots (rn-n+1)\\&\qquad \qquad \times \left[1-{\frac {s(n-s)r}{(s+1)(rn-s)}}\right].\end{aligned}}\right.$

Dans cette fonction, plusieurs cas sont encore répétés, savoir, ceux dans lesquels $s+2$ boules sortent à leur rang ; car ils résultent, dans le premier terme, des $s+2$ boules sortant à leur rang et prises $s$ à $s$ ; ils résultent, dans le second terme, des $s+2$ boules sortant à leur rang et prises $s+1$ à $s+1,$ et de plus multipliés par le facteur $s,$ par lequel on a multiplié le second terme. Ils sont donc compris dans cette fonction le nombre de fois ${\frac {(s+2)(s+1)}{1.2}}-s(s+2)\,;$ ainsi il faut multiplier par l’unité, moins ce nombre de fois, le nombre des cas dans lesquels $s+2$ boules sortent à leur rang. Ce dernier nombre est

${\frac {n(n-1)(n-2)\ldots (n-s-1)}{1.2.3\ldots (s+2)}}$

$\times r^{s+2}(rn-s-2)(rn-s-3)\ldots (rn-n+1)\,;$

le produit dont il s’agit sera donc

${\frac {n(n-1)\ldots (n-s-1)}{1.2.3\ldots (s+2)}}r^{s+2}(rn-s-2)\ldots (rn-n+1){\frac {s(s+1)}{1.2}}.$