à leur rang. Le nombre des cas dans lesquels
boules sortent à leur rang est, par ce qui précède,
![{\displaystyle (b)\quad {\frac {n(n-1)(n-2)\ldots (n-s+1)}{1.2.3\ldots s}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9653af54f42267498b6db2706196b7a06ed65755)
![{\displaystyle \times r^{s}(rn-s)(rn-s-1)\ldots (rn-n+1),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e51c3996babcfdff6a441ea2d5a654245e570544)
pourvu que l’on retranche de cette fonction les cas qui sont répétés. Ces cas sont ceux dans lesquels
boules sortent à leur rang, car ils peuvent résulter, dans la fonction, de
boules prises
à
ces cas sont donc répétés
fois dans cette fonction ; par conséquent il faut les retrancher
fois. Or le nombre des cas dans lesquels
boules sortent à leur rang est
![{\displaystyle {\frac {n(n-1)(n-2)\ldots (n-s)}{1.2.3\ldots (s+1)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e34b916a625eba05aa591fa0e1447162852d6ffa)
![{\displaystyle \times r^{s+1}(rn-s-1)(rn-s-2)\ldots (rn-n+1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fec2d6e4047174f05f20ee5b33eabe3e9acc413)
En le multipliant par
et le retranchant de la fonction
on aura
![{\displaystyle (b')\qquad \left\{{\begin{aligned}&{\frac {n(n-1)(n-2)\ldots (n-s+1)}{1.2.3\ldots s}}\\&\qquad \qquad \times r^{s}(rn-s)(rn-s-1)\ldots (rn-n+1)\\&\qquad \qquad \times \left[1-{\frac {s(n-s)r}{(s+1)(rn-s)}}\right].\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f5017be0ef9253e1f439ccb59e7ab21c65a9ece)
Dans cette fonction, plusieurs cas sont encore répétés, savoir, ceux dans lesquels
boules sortent à leur rang ; car ils résultent, dans le premier terme, des
boules sortant à leur rang et prises
à
; ils résultent, dans le second terme, des
boules sortant à leur rang et prises
à
et de plus multipliés par le facteur
par lequel on a multiplié le second terme. Ils sont donc compris dans cette fonction le nombre de fois
ainsi il faut multiplier par l’unité, moins ce nombre de fois, le nombre des cas dans lesquels
boules sortent à leur rang. Ce dernier nombre est
![{\displaystyle {\frac {n(n-1)(n-2)\ldots (n-s-1)}{1.2.3\ldots (s+2)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdcc9886fc2301fc9200d466f7632cdec25810a6)
![{\displaystyle \times r^{s+2}(rn-s-2)(rn-s-3)\ldots (rn-n+1)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e6cd70e67095565514cb6b3a40f6f892ac24b78)
le produit dont il s’agit sera donc
![{\displaystyle {\frac {n(n-1)\ldots (n-s-1)}{1.2.3\ldots (s+2)}}r^{s+2}(rn-s-2)\ldots (rn-n+1){\frac {s(s+1)}{1.2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e69f12117bda9645b29dd12dcf55ca760c277b0)