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la probabilité de cette équation. Si, dans les hypothèses précédentes, on suppose de plus que la loi de probabilité est la même pour les $r$ premières variables $t,t_{1},t_{2},\ldots ,t_{r-1},$ et que, pour les $i-r$ dernières, elle soit encore la même, mais différente, que pour les premières, on aura

${\begin{aligned}&\mathrm {A=A_{1}=A_{2}} =\ldots =\mathrm {A} _{r-1},\\&\mathrm {B=B_{1}=B_{2}} =\ldots =\mathrm {B} _{r-1},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&\mathrm {A} _{r}=\mathrm {A} _{r+1}=\ldots =\mathrm {A} _{i-1}\\&\mathrm {B} _{r}=\mathrm {B} _{r+1}=\ldots =\mathrm {B} _{i-1}\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et la formule (B) se changera dans la suivante :

(C)

$s^{i-1}\left(\mathrm {A} +\mathrm {B} s+2\mathrm {C} s^{2}+\ldots \right)^{r}\left(\mathrm {A} _{r}+\mathrm {B} _{r}s+2\mathrm {C} _{r}s^{2}+\ldots \right)^{i-r}.$

Cette formule servira à déterminer la probabilité que la somme des erreurs d’un nombre quelconque d’observations, dont la loi de facilité des erreurs est connue, sera comprise dans des limites données.

Supposons, par exemple, que l’on ait $i-1$ observations dont les erreurs pour chaque observation puissent s’étendre depuis $-h$ jusqu’à $+g,$ et qu’en nommant $z$ l’erreur de la première de ces observations, la loi de facilité de cette erreur soit exprimée par $a+bz+cz^{2}.$ Supposons ensuite que cette loi soit la même pour les erreurs $z_{1},z_{2},\ldots ,$$z_{i-2}$ des autres observations, et cherchons la probabilité que la somme de ces erreurs sera comprise dans les limites $p$ et $p+e.$

Si l’on fait

$z=t-h,\qquad z_{1}=t_{1}-h,\qquad z_{2}=t_{2}-h,\qquad \ldots ,$

il est clair que $t,t_{1},t_{2},\ldots$ seront positifs et pourront s’étendre depuis zéro jusqu’à $h+g\,;$ de plus, on aura

$z+z_{1}+z_{2}+\ldots +z_{i-2}=t+t_{1}+t_{2}+\ldots +t_{i-2}-(i-1)h\,;$

donc la plus grande valeur de la somme $z+z_{1}+z_{2}+\ldots +z_{i-2}$ étant, par la supposition, égale à $p+e$, et la plus petite étant égale à $p,$ la