que
toutes les puissances de
dans
sont moindres que
chacun des termes de
donnera donc, par ce qui précède, un résultat nul dans l’intégrale
Le même raisonnement a lieu pour l’intégrale
Mais ces intégrales ne sont pas nulles, lorsque
On les obtiendra dans ce cas de cette manière. On a, par ce qui précède,
![{\displaystyle \mathrm {U} _{i}={\frac {2^{i}\left({\sqrt {-1}}\right)^{2i}\int dsc^{-s^{2}}\left(\mu +s{\sqrt {-1}}\right)^{2i}}{1.3.5\ldots (2i-1){\sqrt {\pi }}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23b31df153c3539ee2040d05bded6a8958ce699b)
Le terme qui a pour facteur
dans cette expression est
![{\displaystyle {\frac {2^{i}\left({\sqrt {-1}}\right)^{2i}\mu ^{2i}}{1.3.5\ldots (2i-1)}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67bbb9d201a32c23fefa72ae426cb0265e8aac43)
or on peut ne considérer que ce terme dans le premier facteur
de l’intégrale
car les puissances inférieures de
dans ce facteur, donnent un résultat nul dans l’intégrale. On a donc
![{\displaystyle \int \mathrm {U} _{i}\mathrm {U} _{i}d\mu c^{-\mu ^{2}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf1cc4a7397fde82cf8e587998855a5d7b8ff719)
![{\displaystyle {\frac {2^{2i}}{\left[1.3.5\ldots (2i-1)\right]^{2}{\sqrt {\pi }}}}\iint \mu ^{2i}d\mu dsc^{-\mu ^{2}-s^{2}}\left(\mu +s{\sqrt {-1}}\right)^{2i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67e26c5dabd3e7452f9cf3e23133ac2d9131b9b7)
On a, en intégrant par rapport à
depuis
jusqu’à ![{\displaystyle \mu =\infty ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5b63b653c1457401c194aebb2d83893397f4cbb)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\iint &\mu ^{2i}d\mu dsc^{-\mu ^{2}-s^{2}}\left(\mu +s{\sqrt {-1}}\right)^{2i}\\=&{\frac {2i-1}{2}}\iint \mu ^{2i-2}d\mu dsc^{-\mu ^{2}-s^{2}}\left(\mu +s{\sqrt {-1}}\right)^{2i}\\&+{\frac {2i}{2}}\iint \mu ^{2i-1}d\mu dsc^{-\mu ^{2}-s^{2}}\left(\mu +s{\sqrt {-1}}\right)^{2i-1}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/010ad76c8f04e049d62e8a611b5ac17a37067585)
Le premier terme du second membre de cette équation est nul par ce qui précède ; ce membre se réduit donc à son second terme. On trouve de la même manière que l’on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}\iint &\mu ^{2i-1}d\mu dsc^{-\mu ^{2}-s^{2}}\left(\mu +s{\sqrt {-1}}\right)^{2i-1}\\=&{\frac {2i-1}{2}}\iint \mu ^{2i-2}d\mu dsc^{-\mu ^{2}-s^{2}}\left(\mu +s{\sqrt {-1}}\right)^{2i-2},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6701f2a6fd6be5d807000afc717546890397159)