On trouvera pareillement
![{\displaystyle {\begin{aligned}y_{x}=&u_{x}\left(\mathrm {A} +\sum {\frac {\mathrm {X} _{x+3}}{z_{x+3}}}\right)\\+&^{1}\!u_{x}\left(^{1}\!\mathrm {A} +\sum {\frac {\mathrm {X} _{x+3}}{^{1}\!z_{x+3}}}\right)\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/812e92ea4220014f7d8ae636cf5330bac9f362fc)
et ainsi de suite jusqu’à ce qu’on parvienne à cette dernière équation inclusivement,
![{\displaystyle {\begin{aligned}y_{x}=&u_{x}\left(\mathrm {A} +\sum {\frac {\mathrm {X} _{x+n}}{z_{x+n}}}\right)\\+&^{1}\!u_{x}\left(^{1}\!\mathrm {A} +\sum {\frac {\mathrm {X} _{x+n}}{^{1}\!z_{x+n}}}\right)\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65f69623bb3deb1f399d7a361fa05b545752ae3e)
Toutes ces équations étant l’intégrale complète de l’équation (B) sont identiquement les mêmes ; en les comparant ensemble, on formera les équations suivantes :
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {u_{x}}{z_{x+1}}}\quad +{\frac {^{1}\!u_{x}}{^{1}\!z_{x+1}}}\quad +\ldots +{\frac {^{n-1}\!u_{x}}{^{n-1}\!z_{x+1}}}\quad &=0,\\{\frac {u_{x}}{z_{x+2}}}\quad +{\frac {^{1}\!u_{x}}{^{1}\!z_{x+2}}}\quad +\ldots +{\frac {^{n-1}\!u_{x}}{^{n-1}\!z_{x+2}}}\quad &=0,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots ,\\{\frac {u_{x}}{z_{x+n-1}}}+{\frac {^{1}\!u_{x}}{^{1}\!z_{x+n-1}}}+\ldots +{\frac {^{n-1}\!u_{x}}{^{n-1}\!z_{x+n-1}}}&=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fe67147121b1b04d39a51890ef59bbce92d6ecb)
IX.
L’intégration de l’équation (B) du Problème II étant réduite à l’intégration de cette même équation lorsque
il ne s’agit plus pour résoudre le problème que d’intégrer celle-ci, mais cela paraît très difficile en général ; ainsi je me bornerai aux cas particuliers. En voici un fort étendu, dans lequel l’intégration réussit, et qui embrasse tous les cas déjà connus ; c’est celui dans lequel on a
(B’)
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Si
on aura l’équation des suites récurrentes.