étant des constantes arbitraires qui se détermineront par la méthode de l’article IX.
XXXIV.
Problème XVIII. – J’ai supposé, dans le Problème précédent, que les deux joueurs
\mathrm A
et
\mathrm B
avaient un égal nombre
d’écus ; je suppose actuellement que le joueur
ait
écus, et le joueur
écus ; le reste subsistant, comme ci-dessus, on demande la probabilité que le jeu finira avant, ou au nombre
de coups.
Il est aisé de voir que l’on aura d’abord les équations
du Problème précédent. De plus, on aura les suivantes :
![{\displaystyle (\psi '')\qquad \qquad \qquad \left\{{\begin{aligned}\sideset {_{1}}{_{x}}{\overset {1}{y}}=&q.y\sideset {_{0}}{_{x-1}}y+p.\sideset {_{2}}{_{x-1}}{\overset {1}{y}},\\\sideset {_{2}}{_{x}}{\overset {1}{y}}=&q.\sideset {_{1}}{_{x-1}}{\overset {1}{y}}+p.\sideset {_{3}}{_{x-1}}{\overset {1}{y}},\\\sideset {_{3}}{_{x}}{\overset {1}{y}}=&q.\sideset {_{2}}{_{x-1}}{\overset {1}{y}}+p.\sideset {_{4}}{_{x-1}}{\overset {1}{y}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\sideset {_{n}}{_{x}}{\overset {1}{y}}=&q.\sideset {_{n-1}}{_{x-1}}{\overset {1}{y}}+p.\sideset {_{n+1}}{_{x-1}}{\overset {1}{y}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\sideset {_{i-1}}{_{x}}{\overset {1}{y}}=&q.\sideset {_{i-2}}{_{x-1}}{\overset {1}{y}}.\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edf25ffb7da4651a688ec44ce0c6242da5ef5356)
Soient
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\sideset {_{i-1}}{_{x}}{\overset {1}{y}}=&\sideset {_{1}}{_{x}}\lambda ,\qquad &\sideset {_{i-2}}{_{x}}{\overset {1}{y}}=&\ \ \sideset {_{2}}{_{x}}\lambda ,\qquad &\sideset {_{i-3}}{_{x}}{\overset {1}{y}}=&\ \ \sideset {_{3}}{_{x}}\lambda ,\qquad \ \ \ldots ,\\\sideset {_{0}}{_{x}}y=&\sideset {_{i}}{_{x}}\lambda ,&\sideset {_{1}}{_{x}}y=&\ \ \sideset {_{i+1}}{_{x}}\lambda ,&\sideset {_{2}}{_{x}}y=&\ \ \sideset {_{i+2}}{_{x}}\lambda ,\qquad \ldots ,\\\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67eea5a3d930aa774a61b1a58829b7a61ea396b5)
et l’on aura, en réunissant les équations
et ![{\displaystyle (\psi ''),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3891574aa366a74b75a3552c909625e10c3dfa5)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sideset {_{1}}{_{x}}\lambda =&q.\sideset {_{2}}{_{x-1}}\lambda ,\\\sideset {_{2}}{_{x}}\lambda =&q.\sideset {_{3}}{_{x-1}}\lambda +p.\sideset {_{1}}{_{x-1}}\lambda ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\sideset {_{i+m-1}}{_{x}}\lambda =&p.\sideset {_{i+m-2}}{_{x-1}}\lambda .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35aee0a60ae08e3e644513c79b6ca65ee504eec3)
Soit
![{\displaystyle (\Omega '')\quad \left\{{\begin{aligned}\sideset {_{n}}{_{x}}\lambda =&a_{n}.\sideset {_{n}}{_{x-2}}\lambda +\sideset {^{1}}{_{n}}a.\sideset {_{n}}{_{x-4}}\lambda +\sideset {^{2}}{_{n}}a.\sideset {_{n}}{_{x-6}}\lambda +\ldots +u_{n}\\&+b_{n}.\sideset {_{n+1}}{_{x-1}}\lambda +\sideset {^{1}}{_{n}}b.\sideset {_{n+1}}{_{x-3}}\lambda +\sideset {^{2}}{_{n}}b.\sideset {_{n+1}}{_{x-5}}\lambda +\ldots ,\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abf89f8ec72ecc2b7aae1fb3558ad2de5047f8ac)