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et l’on aura

{\begin{aligned}p.\sideset {_{n-1}}{_{x-1}}\lambda =&a_{n-1}p.\sideset {_{n-1}}{_{x-3}}\lambda +\sideset {^{1}}{_{n-1}}ap.\sideset {_{n-1}}{_{x-5}}\lambda +\sideset {^{2}}{_{n-1}}ap.\sideset {_{n-1}}{_{x-7}}\lambda +\ldots \\&+u_{n-1}p+b_{n-1}p.\sideset {_{n}}{_{x-2}}\lambda +\sideset {^{1}}{_{n-1}}bp.\sideset {_{n}}{_{x-4}}\lambda +\ldots .\end{aligned}}

Or on a

\sideset {_{n}}{_{x}}\lambda =q.\sideset {_{n+1}}{_{x-1}}\lambda +p.\sideset {_{n-1}}{_{x-1}}\lambda \,;

donc

{\begin{aligned}\sideset {_{n}}{_{x}}\lambda =&\left(a_{n-1}+b_{n-1}p\right)\sideset {_{n}}{_{x-2}}\lambda +\left(\sideset {^{1}}{_{n-1}}a+\sideset {^{1}}{_{n-1}}bp\right)\sideset {_{n}}{_{x-4}}\lambda \\&+\left(\sideset {^{2}}{_{n-1}}a+\sideset {^{2}}{_{n-1}}bp\right)\sideset {_{n}}{_{x-6}}\lambda +\ldots +u_{n-1}p\\&+q.\sideset {_{n+1}}{_{x-1}}\lambda -a_{n-1}q.\sideset {_{n+1}}{_{x-3}}\lambda -\sideset {^{1}}{_{n-1}}aq.\sideset {_{n+1}}{_{x-5}}\lambda -\ldots ,\end{aligned}}

d’où l’on aura, en comparant avec l’équation $(\Omega ''),$

{\begin{aligned}b_{n}=&q,\\a_{n}=&a_{n-1}+b_{n-1}p,\\\sideset {^{1}}{_{n}}b=&-a_{n-1}q,\\\sideset {^{1}}{_{n}}a=&\sideset {^{1}}{_{n-1}}a+\sideset {^{1}}{_{n-1}}bp,\\\sideset {^{2}}{_{n}}b=&-\sideset {^{1}}{_{n-1}}aq,\\\sideset {^{2}}{_{n}}a=&\sideset {^{2}}{_{n-1}}a+\sideset {^{2}}{_{n-1}}bp,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,\\u_{n}=&u_{n-1}p.\end{aligned}}

On doit observer que la première de ces équations commence à exister lorsque $n=1\,;$ la seconde et la troisième, lorsque $n=2\,;$ la quatrième et la cinquième, lorsque $n=3\,;$ etc.

Cela posé, si l’on intègre la seconde, on aura

a_{n}=(n-1)pq+\mathrm {C} \,;

or, posant $n=1,\ a_{n}=0\,;$ donc $\mathrm {C} =0,$ partant

\sideset {^{1}}{_{n}}b=-a_{n-1}q=-(n-2)pq^{2}.

Si l’on intègre la quatrième, on aura

\sideset {^{1}}{_{n}}a=-{\frac {(n-2)(n-3)}{1.2}}p^{2}q^{2}+\mathrm {C} \,;

pour déterminer la constante $\mathrm {C} ,$ j’observe que, lorsque $n=2,$ on a

\sideset {^{1}}{_{2}}a=\sideset {^{1}}{_{1}}a+\sideset {^{1}}{_{1}}bp=0\,;