donc
partant,
![{\displaystyle \sideset {^{2}}{_{n}}b={\frac {(n-3)(n-4)}{1.2}}p^{2}q^{3}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a742317e41febaa0b31ad08efbf1659be24b636b)
Si l’on intègre la sixième équation, on aura
![{\displaystyle \sideset {^{2}}{_{n}}a={\frac {(n-3)(n-4)(n-5)}{1.2.3}}p^{3}q^{3}+\mathrm {C} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e464504ec8a04c60e365ec9623e63890e76124df)
or on a
![{\displaystyle \sideset {^{2}}{_{3}}a=\sideset {^{2}}{_{2}}a+\sideset {^{1}}{_{2}}b\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c8f702b4b626ec49459152338da68bb7307af47)
et
![{\displaystyle \qquad \sideset {^{2}}{_{2}}a=\sideset {^{2}}{_{1}}a+\sideset {^{1}}{_{1}}b\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fbe336d455d652371c410201073eed389b4e193)
donc
partant
et ainsi du reste.
Enfin, on a
donc
or, posant
donc
et
donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sideset {_{n}}{_{x}}\lambda &=(n-1)pq.\sideset {_{n}}{_{x-2}}\lambda -{\frac {(n-2)(n-3)}{1.2}}p^{2}q^{2}.\sideset {_{n}}{_{x-4}}\lambda \\&+{\frac {(n-3)(n-4)(n-5)}{1.2.3}}p^{3}q^{3}.\sideset {_{n}}{_{x-6}}\lambda -\ldots \\&+q.\sideset {_{n+1}}{_{x-1}}\lambda -(n-2)pq^{2}.\sideset {_{n+1}}{_{x-3}}\lambda +{\frac {(n-3)(n-4)}{1.2}}p^{2}q^{3}.\sideset {_{n+1}}{_{x-5}}\lambda \\&-\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e23973e76fe9bef0b2e13086b68df9a33e034b25)
Si l’on fait
on aura
![{\displaystyle \sideset {_{i+m-1}}{_{x}}\lambda =\sideset {_{m-1}}{_{x}}y\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cac33b7d7f67290b9a84193f35bb0c158fc6a24b)
et
![{\displaystyle \qquad \sideset {_{i+m}}{_{x}}\lambda =0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4845f17c363b1dc2e79258d2fca40673b071a58d)
donc
![{\displaystyle (\pi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b46f9a4d1843cf38da8b9a6aa4c33c816cdf25b)
![{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&\sideset {_{m-1}}{_{x}}y=(i+m-2)pq.\sideset {_{m-1}}{_{x-2}}y\\&\quad -{\frac {(i+m-3)(i+m-4)}{1.2}}p^{2}q^{2}.\sideset {_{m-1}}{_{x-4}}y\\&\quad +{\frac {(i+m-4)(i+m-5)(i+m-6)}{1.2.3}}p^{2}q^{2}.\sideset {_{m-1}}{_{x-6}}y-\ldots .\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd1cb38c26c39f60cdceb92cf49f12c1fc0cf6a4)
Si donc on nomme
la probabilité que
gagnera avant ou au coup
on aura, par un procédé semblable à celui du Problème précédent,
![{\displaystyle (\pi )\ \ z_{x}=(m+i-2)pq.z_{x-2}-{\frac {(m+i-3)(m+i-4)}{1.2}}p^{2}q^{2}.z_{x-4}+\ldots +\mathrm {C} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b72f437ca43f45bbdba9595fca6224b3af3192f7)
Pareillement, si l’on nomme
la probabilité du joueur
pour