Le nombre des cas qui font gagner
au coup
égale
Pour avoir le nombre des cas qui le font gagner précisément au coup
il est visible qu’il faut retrancher
de la quantité précédente, et multiplier le reste par
ce qui donne
![{\displaystyle (\chi )\quad \left\{{\begin{aligned}mp^{m+1}q&+{\frac {m(m-1)}{1.2}}p^{m}q^{2}+{\frac {m(m-1)(m-2)}{1.2.3}}p^{m-1}q^{3}+\ldots \\&+2mp^{m}q^{2}+{\frac {2m(m-1)}{1.2}}p^{m-1}q^{3}+mp^{m-1}q^{3}+\ldots .\\\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56f528ef83c53e573556131b41ba3eb1096f8939)
Or, le nombre des cas qui le font gagner précisément au coup
est visiblement
on a donc
![{\displaystyle z_{m+2}=p^{m}(1+mpq).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd4b2f3b7df2ef747a7e4615ab3d3e446204d084)
Pour avoir le nombre des cas qui font gagner
au coup
il faut retrancher de la quantité précédente
multiplier le reste par
et l’on aura
pour le nombre de ces cas ; ainsi,
![{\displaystyle z_{m+4}=p^{m}\left[1+mpq+{\frac {m(m+3)}{1.2}}p^{2}q^{2}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41ecfb20557aec1af505cb5da032aa038faec1ea)
On trouvera, de même,
![{\displaystyle z_{m+6}=p^{m}\left[1+mpq+{\frac {m(m+3)}{1.2}}p^{2}q^{2}+{\frac {m(m+4)(m+5)}{1.2.3}}p^{3}q^{3}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07015eb37510dc3b52f77bea3e0e627f7e55cb21)
et ainsi de suite ; la loi de ces valeurs de
a lieu jusqu’à
si l’on avait besoin de valeurs ultérieures de
on les obtiendrait facilement par ce procédé.
Pour intégrer présentement l’équation
il faut avoir les racines de l’équation
![{\displaystyle f^{\frac {m+i-1}{2}}=(m+i-2)pqf^{\frac {m+i-3}{2}}-{\frac {(m+i-3)(m+i-4)}{1.2}}p^{2}q^{2}f^{\frac {m+i-5}{2}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e89d5b95b04e4b85a22b60f11ea51e10e3347f5d)
si
est impair, ou
![{\displaystyle f^{{\frac {m+i}{2}}-1}=(m+i-2)pqf^{{\frac {m+i}{2}}-2}-\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51653a88010a2685d40709b2311687331f289d44)