si
est pair ; or on trouvera ces racines en considérant que l’on a
![{\displaystyle \sin(m+i)=x\left[2^{m+i-1}u^{m+i-1}-(m+i-2)2^{m+i-3}u^{m+i-3}+\ldots \right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5274453a64acbcbf10147e48b549f4c7a1c4681b)
étant le sinus et
le cosinus de l’angle
or, posant
![{\displaystyle \sin(m+i)z=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2e91ce10ccc1e305c740d2cadce0f4098cf0cc4)
on aura
![{\displaystyle u^{m+i-1}=(m+i-2){\frac {1}{4}}u^{m+i-3}-\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae3a37bc387ac4792b0012d0e56386dda3f6631c)
Soit
et l’on aura
![{\displaystyle f^{\frac {m+i-1}{2}}=(m+i-2)pqf^{\frac {m+i-3}{2}}-\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d197ddeea8983acca47728522b2a83355e9ac4b2)
si
est impair, ou
![{\displaystyle f^{{\frac {m+i}{2}}-1}=(m+i-2)pqf^{{\frac {m+i}{2}}-2}-\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51653a88010a2685d40709b2311687331f289d44)
si
est pair ; les différentes valeurs de
sont les cosinus des angles
tels que
égale
ce qui donne
Soient
les cosinus de ces angles jusqu’à
si
est pair, ou
s’il est impair ; les différentes valeurs de
seront
Ces valeurs une fois déterminées, il est aisé de trouver celles de
et ![{\displaystyle {\overset {1}{z}}_{x}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce4936e1270389e7068f94b69fbd52f581200845)
XXXV.
Problème XIX. – Je suppose deux joueurs
et
avec un égal nombre
d’écus, jouant à cette condition, que celui qui perdra donnera un écu à l’autre ; que la probabilité de
pour gagner un coup soit
que celle de
soit
mais qu’il puisse arriver qu’aucun d’eux ne gagne, et que la probabilité pour cela soit
Cela posé, on demande la probabilité que le jeu finira avant ou au nombre
de coups.
Soient
le nombre des cas suivant lesquels, au coup
le gain