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Reprenons maintenant les deux équations

${\begin{alignedat}{2}&&\sideset {_{0}}{_{x}}y=&2.\sideset {_{0}}{_{x-2}}y+\sideset {_{2}}{_{x-2}}y,\\(1)&\qquad \qquad \qquad \qquad &\sideset {_{2}}{_{x}}y=&2.\sideset {_{2}}{_{x-2}}y+2.\sideset {_{0}}{_{x-2}}y+\sideset {_{4}}{_{x-2}}y.\end{alignedat}}$

La première donne

(2)

$\sideset {_{0}}{_{x-2}}y=2.\sideset {_{0}}{_{x-4}}y+\sideset {_{2}}{_{x-4}}y,$

et la seconde donne

(3)

$\sideset {_{2}}{_{x-2}}y=2.\sideset {_{2}}{_{x-4}}y+2.\sideset {_{0}}{_{x-4}}y+\sideset {_{4}}{_{x-4}}y.$

Si l’on multiplie l’équation (2) par $\alpha ,$ et l’équation (3) par $\beta ,$ et qu’en suite on les ajoute avec l’équation (1), on aura

$\sideset {_{2}}{_{x}}y=(2-\beta ).\sideset {_{2}}{_{x-2}}y+(\alpha +2\beta ).\sideset {_{2}}{_{x-4}}y+(2-\alpha ).\sideset {_{0}}{_{x-2}}y$

$+(2\alpha +2\beta ).\sideset {_{0}}{_{x-4}}y+\sideset {_{4}}{_{x-2}}y+\beta .\sideset {_{4}}{_{x-4}}y.$

Soit

$2-\alpha =0\quad$ou$\quad \alpha =2,\qquad$et$\qquad 2\alpha +2\beta =0\quad$ou$\quad \beta =-2\,;$

on aura ainsi les équations suivantes :

$(h)\qquad \qquad \left\{{\begin{aligned}\sideset {_{2}}{_{x}}y=&4.\sideset {_{2}}{_{x-2}}y-2.\sideset {_{2}}{_{x-4}}y+\sideset {_{4}}{_{x-2}}y-2.\sideset {_{4}}{_{x-4}}y,\\\sideset {_{4}}{_{x}}y=&2.\sideset {_{4}}{_{x-2}}y+\quad \sideset {_{2}}{_{x-2}}y+\sideset {_{6}}{_{x-2}}y,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\sideset {_{n-2}}{_{x}}y=&2.\sideset {_{n-2}}{_{x-2}}y+\sideset {_{n-4}}{_{x-2}}y.\end{aligned}}\right.$

Ces équations se rapportent évidemment au problème II ; je suppose donc que l’on ait en général

$(k)\qquad \quad \left\{{\begin{aligned}\sideset {_{q}}{_{x}}y=&a_{q}.\sideset {_{q}}{_{x-2}}y+b_{q}.\sideset {_{q}}{_{x-4}}y+c_{q}.\sideset {_{q}}{_{x-6}}y+\ldots +u_{q}\\&+h_{q}.\sideset {_{q+2}}{_{x-2}}y+l_{q}.\sideset {_{q+2}}{_{x-4}}y+p_{q}.\sideset {_{q+2}}{_{x-6}}y+\ldots .\end{aligned}}\right.$

On aura donc

${\begin{aligned}\sideset {_{q-2}}{_{x-2}}y=&a_{q-2}.\sideset {_{q-2}}{_{x-2}}y+b_{q-2}.\sideset {_{q-2}}{_{x-4}}y+c_{q-2}.\sideset {_{q-2}}{_{x-6}}y+\ldots +u_{q-2}\\&+h_{q-2}.\sideset {_{q}}{_{x-4}}y+l_{q-2}.\sideset {_{q}}{_{x-4}}y+p_{q-2}.\sideset {_{q}}{_{x-8}}y+\ldots .\end{aligned}}$

Substituant dans cette équation, au lieu de $\sideset {_{q-2}}{_{x-2}}y,\sideset {_{q-2}}{_{x-4}}y,\ldots ,$ leurs