Ces équations sont à une ellipse dont
est le demi grand axe, et
l’excentricité ;
exprime la distance moyenne de la planète à une ligne fixe, lorsque
et
la quantité dont elle est plus avancée que son aphélie à cet instant. Ces valeurs de
et de
sont exactes lorsque
mais, lorsqu’il n’est pas nul, il faut différentier les équations (4) et (5), par rapport à
et leur ajouter les termes affectés de
dans les équations (A) et (B) ; on aura ainsi
(6)
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et
(7)
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Si l’on substituait dans ces équations, au lieu de
leurs véritables valeurs, tous les termes homologues se détruiraient réciproquement, c’est-à-dire que l’on aurait séparément égaux à zéro : 1o les termes constants ; 2o les termes proportionnels au temps ; 3o ceux qui sont proportionnels au carré du temps, etc. ; 4o les coefficients des sinus et des cosinus des différents angles ; ce qui produirait une suite infinie d’équations, mais, pour l’objet que l’on se propose ici, il suffit d’avoir égard dans l’équation (6) aux termes constants, et à ceux qui croissent comme le temps ; dans l’équation (7), il faut, de plus, avoir égard aux coefficients de
et de
Or, en ayant égard à ces termes seuls, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {2c\delta m'}{r^{3}}}&\int rdt\sin(\varphi '-\varphi )\left[{\frac {1}{r'^{2}\left(1+s'^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}-{\frac {r'}{v^{3}}}\right]+{\frac {\delta m'r}{v^{3}}}\\&+\delta m'\cos(\varphi '-\varphi )\left[{\frac {1}{r'^{2}\left(1+s'^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}-{\frac {r'}{v^{3}}}\right]\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0177ff61af173296540d88a394de6ef3bc77504)
![{\displaystyle =a{\frac {\delta m'}{a^{3}}}\mathrm {A} +\alpha ^{2}a{\frac {\delta m'}{a^{3}}}\mathrm {B} nt+\alpha a{\frac {\delta m'}{a^{3}}}\mathrm {C} \cos(nt+\varepsilon )+\alpha a{\frac {\delta m'}{a^{3}}}\mathrm {D} \sin(nt+\varepsilon )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ebc9814a4b3e21ea710e0a3ab1a69be63bf958b)