Problème IV. – Une loterie étant composée d’un nombre
de numéros
dont il sort un nombre
à chaque tirage, on demande la probabilité qu’après
tirages tous les numéros seront sortis.
Supposons que
parie que tous les numéros ne seront pas sortis après ce nombre de tirages, et cherchons tous les cas favorables à
il est clair que leur nombre est égal :
1o Au nombre de cas suivant lesquels le numéro
peut n’être pas sorti après le tirage
2o Au nombre des cas suivant lesquels le numéro
peut n’être pas sorti, le numéro
étant sorti ;
3o Au nombre des cas suivant lesquels le numéro
peut n’être pas, sorti, les numéros
et
étant sortis, et ainsi de suite ; si donc l’on nomme
![{\displaystyle \sideset {_{q}}{_{n}}y=\sideset {_{q-1}}{_{n}}y-\sideset {_{q-1}}{_{n-1}}y+\left[{\frac {(n-1)\ldots (n-p)}{1.2\ldots p}}\right]^{x},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42bbc337609169cae81ca905400f65e158fd99e2)
équation qui se rapporte au Problème I,
et
étant supposés variables et
constant ; voici comment on peut l’intégrer dans ce cas particulier ; posant
successivement égal à
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sideset {_{1}}{_{n}}y=&\ \ \left[{\frac {(n-1)\ldots (n-p)}{1.2\ldots p}}\right]^{x},\\\sideset {_{2}}{_{n}}y=&2\left[{\frac {(n-1)\ldots (n-p)}{1.2\ldots p}}\right]^{x}-\ \ \left[{\frac {(n-2)\ldots (n-p-1)}{1.2\ldots p}}\right]^{x},\\\sideset {_{3}}{_{n}}y=&3\left[{\frac {(n-1)\ldots (n-p)}{1.2\ldots p}}\right]^{x}-3\left[{\frac {(n-2)\ldots (n-p-1)}{1.2\ldots p}}\right]^{x}\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +\left[{\frac {(n-3)\ldots (n-p-2)}{1.2\ldots p}}\right]^{x},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6e33232401a85e3fc5dab70db585c1d2b8dc4e5)
d’où l’on conclura facilement
![{\displaystyle \sideset {_{n}}{_{n}}y=\left[{\frac {(n-1)\ldots (n-p)}{1.2\ldots p}}\right]^{x}-{\frac {n(n-1)}{1.2}}\left[{\frac {(n-2)\ldots (n-p-1)}{1.2\ldots p}}\right]^{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34ad06fa65bea2d6ecd55f08b07dcae3cf295e31)
![{\displaystyle +{\frac {n(n-1)(n-2)}{1.2.3}}\left[{\frac {(n-3)\ldots (n-p-2)}{1.2\ldots p}}\right]^{x}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b09b06f8d89cb40e76ff8e640454ddc639a442f4)
Or ici la somme de tous les cas possibles est