nommant donc
la probabilité de
on aura
![{\displaystyle z_{x}=n\left[{\frac {(n-1)(n-2)\ldots (n-p)}{n(n-1)\ldots (n-p+1)}}\right]^{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91f134e8633214ba5f21ff2752558b463bc8e0e6)
![{\displaystyle -{\frac {n(n-1)(n-2)}{1.2}}\left[{\frac {(n-2)\ldots (n-p-1)}{n\ldots (n-p+1)}}\right]^{x}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f9bf0c9176ff226838a1bb8397c5637334c745a)
Si l’on veut appliquer cette formule à la loterie de l’École militaire, il faut, suivant la nature de cette loterie, supposer
et
7. La notation que nous avons employée et la manière dont nous considérons le calcul aux différences finies à deux variables sont, comme l’on voit, d’un usage étendu dans la théorie des hasards. Pour en donner encore un exemple très simple, que l’on se propose le problème suivant :
Problème V. – Si dans un tas de
pièces, on en prend un nombre au hasard, on demande la probabilité que ce nombre sera pair ou impair.
Soit
le nombre des cas suivant lesquels ce nombre peut être pair, et
le nombre des cas suivant lesquels il peut être impair ; on aura
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}(1)&\qquad \qquad \qquad \qquad &\sideset {_{p}}{_{x+1}}y=&\sideset {_{p}}{_{x}}y+\sideset {_{p-1}}{_{x}}y,\\(2)&&\sideset {_{p-1}}{_{x+1}}y=&\sideset {_{p-1}}{_{x}}y+\sideset {_{p}}{_{x}}y+1.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a642c2a8c5e8da3dc54e6c4dce3fcbb8245984de)
Cette seconde équation donnera
![{\displaystyle \sideset {_{p-1}}{_{x}}y=\sideset {_{p-1}}{_{x-1}}y+\sideset {_{p}}{_{x-1}}y+1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/291d1682d729391a053bb8206d4abfdee19910c0)
La première donne
![{\displaystyle \sideset {_{p}}{_{x}}y=\sideset {_{p}}{_{x-1}}y+\sideset {_{p-1}}{_{x-1}}y\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c1794424694c96eddf21a35ef3646ac4e37a6d6)
donc on aura
![{\displaystyle \sideset {_{p}}{_{x+1}}y=2^{p}y_{x}+1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/996e32295048476093d2cf39482a3ba24a51affb)
d’où l’on tire, en intégrant,
![{\displaystyle \sideset {_{p}}{_{x}}y=\mathrm {A} 2^{x}-1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/071882240e3366a8fd354dd1241830dabde554e4)
or, posant
on a
![{\displaystyle \sideset {_{p}}{_{x}}y=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f6988e40d5e28e57c0c9e986697935ac1ea448e)
donc
et
partant
et puisque l’équa-