tion (1) donne
![{\displaystyle \sideset {_{p-1}}{_{x}}y=\sideset {_{p}}{_{x+1}}y-\sideset {_{p}}{_{x}}y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69bdb5386c8ea57b0a3182d273323eaeec99ed15)
on aura
![{\displaystyle \sideset {_{p-1}}{_{x}}y=2^{x-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb04f594881ffd0a7fd08572f403e5828c27d027)
La somme de tous les cas possibles est visiblement
![{\displaystyle \sideset {_{p}}{_{x}}y+\sideset {_{p-1}}{_{x}}y=2^{x}-1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a64c34353801bcf291c575909755b72a37ceed36)
Si donc on nomme
la probabilité que le nombre sera pair, et
la probabilité qu’il sera impair, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sideset {_{p}}{_{x}}z=&{\frac {2^{x-1}-1}{2^{x}-1}},\\\sideset {_{p-1}}{_{x}}z=&{\frac {2^{x-1}}{2^{x}-1}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ccbd47f4957be490ff8b28c641c89e866e9e0da)
d’où il est facile de voir qu’il y a toujours plus d’avantage à parier pour les nombres impairs que pour les pairs.
Je suppose que l’on soit assuré que le nombre
ne peut excéder
mais que ce nombre et tous les nombres inférieurs sont également possibles ; on aura, pour la somme de tous les cas favorables aux impairs,
![{\displaystyle \sum 2^{x-1}=2^{x}+\mathrm {C} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a99b73e99e4c9dd5ebb9b90e2039280128a60e4f)
or,
étant
on a
![{\displaystyle 2^{x}+\mathrm {C} =1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b7407a28ca916137b4c1c7814b907cd7d3a5ea3)
donc
et
on aura pareillement
![{\displaystyle \sum (2^{x-1}-1)=2^{x}-x+\mathrm {C} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b698ffe365db93fffbb929f66fa2a917e4beca58)
or,
étant
on a
![{\displaystyle 2^{x}-x+\mathrm {C} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb4844d2cadbd67bc1e205230ab3da5b010ab272)
donc
partant, la somme de tous les cas favorables aux impairs est
et la somme de tous les cas favorables aux pairs est
ainsi la probabilité pour les impairs est
![{\displaystyle {\frac {2^{n}-1}{2^{n+1}-n-2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d342dcf7284f6f16c8c37dcbf2aa12082104def1)