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tion (1) donne

$\sideset {_{p-1}}{_{x}}y=\sideset {_{p}}{_{x+1}}y-\sideset {_{p}}{_{x}}y,$

on aura

$\sideset {_{p-1}}{_{x}}y=2^{x-1}.$

La somme de tous les cas possibles est visiblement

$\sideset {_{p}}{_{x}}y+\sideset {_{p-1}}{_{x}}y=2^{x}-1.$

Si donc on nomme $\sideset {_{p}}{_{x}}z$ la probabilité que le nombre sera pair, et $\sideset {_{p-1}}{_{x}}z$ la probabilité qu’il sera impair, on aura

${\begin{aligned}\sideset {_{p}}{_{x}}z=&{\frac {2^{x-1}-1}{2^{x}-1}},\\\sideset {_{p-1}}{_{x}}z=&{\frac {2^{x-1}}{2^{x}-1}}\,;\end{aligned}}$

d’où il est facile de voir qu’il y a toujours plus d’avantage à parier pour les nombres impairs que pour les pairs.

Je suppose que l’on soit assuré que le nombre $x$ ne peut excéder $n,$ mais que ce nombre et tous les nombres inférieurs sont également possibles ; on aura, pour la somme de tous les cas favorables aux impairs,

$\sum 2^{x-1}=2^{x}+\mathrm {C} \,;$

or, $x$ étant $1,$ on a

$2^{x}+\mathrm {C} =1\,;$

donc $\mathrm {C} =-1$ et $2^{x}+\mathrm {C} =2^{x}-1\,;$ on aura pareillement

$\sum (2^{x-1}-1)=2^{x}-x+\mathrm {C} \,;$

or, $x$ étant $1,$ on a

$2^{x}-x+\mathrm {C} =0,$

donc $\mathrm {C} =-1\,;$ partant, la somme de tous les cas favorables aux impairs est $2^{n}-1,$ et la somme de tous les cas favorables aux pairs est $2^{n}-n-1\,;$ ainsi la probabilité pour les impairs est

${\frac {2^{n}-1}{2^{n+1}-n-2}},$