partant,
![{\displaystyle \sideset {_{3}}{_{n}}{\mathrm {A} }=\left({\frac {n}{n-1}}\right)^{n-1}\left[\sideset {_{3}}{_{n-1}}{\mathrm {A} }-{\frac {(n-1)^{n-2}}{\nabla (n-2)}}(n-2)\right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b10f95d59691de05beb7589feedf2e409b051d1)
soit
![{\displaystyle \sideset {_{3}}{_{n}}{\mathrm {A} }={\frac {n^{n-1}}{\nabla (n-1)}}u_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ef5b0574a7b4d780a99d1d295cf134a66ae4fde)
et l’on aura
![{\displaystyle u_{n}=u_{n-1}+(n-2)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66b1cb48470345ac719c88fba903ff55e12dea10)
d’où l’on tire
![{\displaystyle u_{n}={\frac {(n-1)(n-2)}{1.2}}+\mathrm {H} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82371801d898341d31528461db0c04ab33db991a)
or, posant
on a
donc
![{\displaystyle \mathrm {H} =0\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4365430c6145ab84db96c87ac7b9cb3ac8c51e3)
et
![{\displaystyle \qquad \sideset {_{3}}{_{n}}{\mathrm {A} }={\frac {n^{n-1}}{\nabla (n-1)}}{\frac {(n-1)(n-2)}{1.2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9c1a93adf9937fe3a93a90028b98e0e033ddd31)
En continuant d’opérer ainsi, on trouvera
![{\displaystyle \sideset {_{r}}{_{n}}{\mathrm {A} }=\pm {\frac {n^{n-1}}{\nabla (n-1)}}{\frac {(n-1)(n-2)\ldots (n-r+1)}{1.2.3\ldots (r-1)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de007234d8ccb5cef99b91274f1656c63ffe83d6)
ou
![{\displaystyle \sideset {_{r}}{_{n}}{\mathrm {A} }=\pm {\frac {n^{n-1}}{\nabla (r-1)\nabla (n-r)}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dc1354758faa68cd4fd9d6f11a5cbb11637d39e)
le signe
ayant lieu si
est impair, et le signe
s’il est pair.
J’observerai ici, relativement au produit
que l’on a
![{\displaystyle {\frac {1}{\nabla (n-r)}}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8be9153f7540e6964a1dd156aff7508b542b3a4c)
lorsque
et lorsque
en effet,
![{\displaystyle {\frac {1}{\nabla (n-r)}}={\frac {n(n-1)\ldots (n-r+1)}{1.2.3\ldots n}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f3d2dc9b52db361af57801be47e835b4111b612)
Or, cette dernière quantité est égale à
lorsque
et lorsque
si
est plus grand que
ces deux nombres étant supposés positifs et entiers, on a
![{\displaystyle {\frac {1}{\nabla (n-r)}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/344b3aa92a5c872f8b999497c1b5360e15897bff)