parce qu’alors on a évidemment
![{\displaystyle n(n-1)\ldots (n-r+1)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5effd37a61ca91c5d3d55c69ceadef1a602023c0)
Déterminons maintenant ![{\displaystyle \sideset {_{r}}{_{n}}{\mathrm {B} }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46c260056be038c657bb23bdd83eaa6bdc1802a7)
Il est facile de voir, par les articles précédents, que l’on a
![{\displaystyle \sideset {_{1}}{_{n}}{\mathrm {B} }=0,\qquad \sideset {_{1}}{_{n}}{\mathrm {C} }=0,\qquad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7230ab339f6991469f962de15fbee12d7799930)
Ensuite la seconde des équations
donne
![{\displaystyle \sideset {_{2}}{_{n}}{\mathrm {B} }={\frac {n-1}{n-2}}\left({\frac {n}{n-1}}\right)^{n-1}\sideset {_{2}}{_{n-1}}{\mathrm {B} }\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f59bc821851a454016929fd64d786a7748459e8)
d’où je tire, en intégrant,
![{\displaystyle \sideset {_{2}}{_{n}}{\mathrm {B} }={\frac {\mathrm {H} n^{n-2}}{\nabla (n-2)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/288ad2e32e4fc2d825d21e31a7937f70f94f161b)
étant une constante arbitraire. Pour la déterminer, j’observe que l’équation différentielle en
commence à exister que lorsque
en sorte que, pour avoir
il faut connaître
or il est visible que
est le terme tout constant de l’expression de
et partant, la dernière des équations
donne
![{\displaystyle \sideset {_{2}}{_{2}}{\mathrm {B} }=\sideset {_{1}}{_{1}}{\mathrm {A} }a=2a\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3e55f51598f3082109bc61db40f501375afb6b6)
donc
![{\displaystyle \mathrm {H} =a\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c119cb3fb6babcd65a4341dd49c8149d30a3a0b6)
et
![{\displaystyle \qquad \sideset {_{2}}{_{n}}{\mathrm {B} }={\frac {n^{n-2}a}{\nabla (n-2)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80239f29cc02beaaf3777f2d6872310e0da11fb9)
De là on aura
![{\displaystyle \sideset {_{3}}{_{n}}{\mathrm {B} }=-{\frac {n^{n-2}a}{\nabla (n-2)}}(n+\mathrm {H} ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93cc8e08813fb384035bc4ef38b99ab8beff97a0)
étant une constante arbitraire ; or, posant
on a
donc
![{\displaystyle \mathrm {H} =-2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b18d447884ad0948e5c17d8c4d6efa16b40e4f90)
et
![{\displaystyle \sideset {_{3}}{_{n}}{\mathrm {B} }=-{\frac {n^{n-2}}{\nabla (n-2)}}a(n-2).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a494bd21f3fe2700cc9c879246ce7ab4fe40d4ef)
On aura, de la même manière.
![{\displaystyle \sideset {_{4}}{_{n}}{\mathrm {B} }={\frac {n^{n-2}a}{\nabla (n-2)}}\left[{\frac {(n-2)(n-3)}{1.2}}+\mathrm {H} \right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ebb94c1b8c12b09fa3afb19271bd186ab28c08c)