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et la probabilité pour les pairs est

${\frac {2^{n}-n-1}{2^{n+1}-n-2}}.$

Dans l’Histoire de l’Académie des Sciences, pour l’année 1728, on voit que M. de Mairan a pareillement observé qu’il y a toujours plus d’avantage à parier pour les impairs que pour les pairs ; mais il me semble que la manière dont cet ingénieux auteur envisage le problème n’est point exacte, et que, pour apprécier cet avantage, il est nécessaire de le considérer sous le point de vue sous lequel nous l’avons estimé.

On peut concevoir de la même manière des suites récurro-récurrentes, dont le terme général aurait trois ou même un plus grand nombre d’indices variables, et si elles se rencontrent dans la résolution des problèmes, on pourra les traiter par une méthode analogue à la précédente.

8. Quoique les théorèmes suivants n’aient qu’un rapport éloigné avec l’objet de ce Mémoire, cependant, comme ils m’ont paru être de quelque utilité dans l’Analyse, j’en donnerai ici l’énoncé, sans y joindre la démonstration ; on la trouvera dans le Mémoire que j’ai déjà cité au commencement de celui-ci, et qui a pour titre : Recherches sur le Calcul intégral aux différences infiniment petites et aux différences finies.

Théorème I, sur les différences infiniment petites. – Soit

$y=\mathrm {C} u+\mathrm {C} 'u'+\mathrm {C} ''u''+\ldots +\mathrm {C} ^{n-1}u^{n-1}$

l’intégrale complète de l’équation

$(\alpha )\qquad \qquad \qquad 0=y+\mathrm {H} {\frac {\partial y}{\partial x}}+\mathrm {H} '{\frac {\partial ^{2}y}{\partial ^{2}x}}+\mathrm {H} ^{n-1}{\frac {\partial ^{n}y}{\partial ^{n}x}},$

$\mathrm {C,C,'C''} ,\ldots$ étant des constantes arbitraires, $u,u',u'',\ldots$ étant des intégrales particulières de l’équation $(\alpha ),$ et $\mathrm {H,H',H''} ,\ldots$ étant des fonctions de la variable $x,$ dont la différence est supposée constante, et que