En substituant ces valeurs de
et de
dans les équations précédentes, on aura, en comparant séparément les termes multipliés par
les deux équations suivantes :
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dp}{d\mathrm {T} }}=&-\alpha lq+{\frac {\alpha ^{2}q}{12}}\left(18l^{2}+5p^{2}+5q^{2}\right),\\{\frac {dq}{d\mathrm {T} }}=&\quad \ \alpha lp-{\frac {\alpha ^{2}p}{12}}\left(18l^{2}+5p^{2}+5q^{2}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b4d84a914089be6facd9b2c71f51c4685767df6)
Soit
et l’on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dp}{dx}}=&-q+{\frac {\alpha q\left(18l^{2}+5p^{2}+5q^{2}\right)}{12l}},\\{\frac {dq}{dx}}=&\quad \ p-{\frac {\alpha p\left(18l^{2}+5p^{2}+5q^{2}\right)}{12l}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d80742b9c44a66ba3ed6157c3c3b9edca35c5a26)
Je multiplie la première de ces équations par
la seconde par
et je les ajoute ensemble, ce qui donne
![{\displaystyle p{\frac {dp}{dx}}+q{\frac {dq}{dx}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7089e71f701ad5621d69e0dab17ffd3bfa68d214)
donc
![{\displaystyle p^{2}+q^{2}=e^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bbd529fcbdb3204a9940ef6f2dfd32304875162)
étant constant ; on aura conséquemment
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dp}{dx}}=&-q\left[1-{\frac {\alpha \left(18l^{2}+5e^{2}\right)}{12l}}\right],\\{\frac {dq}{dx}}=&\quad \ p\left[1-{\frac {\alpha \left(18l^{2}+5e^{2}\right)}{12l}}\right]\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c49a8310340f7648f680c21621b79f2f3722a603)
d’où je conclus, en intégrant,
![{\displaystyle {\begin{aligned}p=&e\cos \left\{x\left[1-{\frac {\alpha \left(18l^{2}+5e^{2}\right)}{12l}}\right]+\theta \right\},\\q=&e\sin \left\{x\left[1-{\frac {\alpha \left(18l^{2}+5e^{2}\right)}{12l}}\right]+\theta \right\},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4eab5e152a6b9774abf52d38fc29857200d5af4)
et
étant deux constantes arbitraires dépendantes des valeurs de ![{\displaystyle p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36)