et de
lorsque
on aura donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sideset {^{1}}{}p=&e\cos \left\{\alpha \mathrm {T} \left[l-{\frac {\alpha \left(18l^{2}+5e^{2}\right)}{12}}\right]+\theta \right\},\\\sideset {^{1}}{}q=&e\sin \left\{\alpha \mathrm {T} \left[l-{\frac {\alpha \left(18l^{2}+5e^{2}\right)}{12}}\right]+\theta \right\}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2adaca63aa68ac6a0bd8e17576812405100f9ab6)
Ainsi l’équation (V’) donnera, en y supposant ![{\displaystyle t_{1}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fefc0ef0dbfd70994e581458810374ff8843b5c)
![{\displaystyle y=l-\alpha \left({\frac {1}{2}}-\alpha l\right)\left(2l^{2}+e^{2}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed15405688fc5e2aafd749f57469e1a0fa405f40)
![{\displaystyle +e\sin \left[\ \ \mathrm {T} \left(1+\alpha l-{\frac {3}{2}}\alpha ^{2}l^{2}-{\frac {5}{12}}\alpha ^{2}e^{2}\right)+\ \ \theta \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0a1c0529bfe31b791261f2e94b4a9f18692ed5f)
![{\displaystyle -{\frac {\alpha e^{2}}{6}}(1-2\alpha l)\cos \left[2\mathrm {T} \left(1+\alpha l-{\frac {3}{2}}\alpha ^{2}l^{2}-{\frac {5}{12}}\alpha ^{2}e^{2}\right)+2\theta \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa5a3d938362cc924b8ab915951e5b3a7bcf0642)
![{\displaystyle -{\frac {\alpha ^{2}e^{2}}{48}}\sin \left[3\mathrm {T} \left(1+\alpha l-{\frac {3}{2}}\alpha ^{2}l^{2}-{\frac {5}{12}}\alpha ^{2}e^{2}\right)+3\theta \right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a11521945c1e52bd2e9c9ca2703f528f149024ba)
C’est, aux quantités près de l’ordre
l’expression de
après le temps quelconque
cette valeur est précisément la même que celle à laquelle nous sommes arrivés par un autre procédé dans l’article précédent.
Prenons encore pour exemple l’équation différentielle
![{\displaystyle (x)\qquad \quad \left\{{\begin{aligned}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+h^{2}y=\mathrm {T} &+\alpha \ \left(\mathrm {T} '\ y\ +\mathrm {T} ''{\frac {dy}{dt}}\right)\\&+\alpha ^{2}\left(\mathrm {T} '''y^{2}+\mathrm {T} ^{\text{ıv}}y{\frac {dy}{dt}}+\mathrm {T} ^{\text{v}}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}\right)\\&+\alpha ^{3}\left(\mathrm {T} ^{\text{vı}}y^{3}+\ldots \right)+\ldots ,\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2b202f6d3fe0b8b363f19d98f02809faa5051a8)
étant des fonctions rationnelles et entières de sinus et de cosinus de cette forme ![{\displaystyle \sin {\text{ϐ}}t,\cos {\text{ϐ}}t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da6cd4706db75a2e95c3edff4f64452d0f3e199f)
Soit
![{\displaystyle y=z+\alpha z'+\alpha ^{2}z''+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e28e1e43c5fde9dd83776239fd5a292d0c4dc7a)
et l’on aura, en comparant séparément les quantités sans
celles de l’ordre
celles de l’ordre
etc., les équations différentielles
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}\,\ +h^{2}z\ \ =&\mathrm {T} ,\\{\frac {d^{2}z'}{dt^{2}}}+h^{2}z'\ =&\mathrm {T} 'z\ +\mathrm {T} ''{\frac {dz}{dt}},\\{\frac {d^{2}z''}{dt^{2}}}+h^{2}z''=&\mathrm {T} 'z'+\mathrm {T} ''{\frac {dz'}{dt}}+\mathrm {T} '''z^{2}+\mathrm {T} ^{\text{ıv}}z{\frac {dz}{dt}}+\ldots ,\\\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11fb1300fa88d1c8596bfa30ebbc0dfda3fea69f)