Ces équations seront au nombre de
si l’on veut pousser l’approximation jusqu’aux quantités de l’ordre
inclusivement ; on les intégrera facilement par les méthodes connues, en conservant les arcs de cercle, et l’on pourra, pour plus de simplicité, rejeter des valeurs de
les termes de la forme
et
étant constant ; car je suppose que dans la valeur de
on ait le terme
comme on peut ajouter à l’intégrale de l’équation différentielle en
le term
étant arbitraire, on pourra prendre
égal à
et dans ce cas, le terme
disparaît. À la vérité, de cette manière,
ne renferment point de constantes arbitraires ; mais, comme
en renferme deux, la valeur de
les renfermera pareillement ; partant, elle sera complète ; on aura ainsi pour
une expression de cette forme
![{\displaystyle (\mathrm {V} '')\left\{{\begin{aligned}y=&\sin ht\left\{{\begin{aligned}p&+t\,\ \left[\ \ \mathrm {K} +\alpha \ \ \left(ap+\sideset {^{1}}{}aq\right)\right.\\&\qquad \qquad +\alpha ^{2}\left(\sideset {^{2}}{}ap^{2}+\sideset {^{3}}{}apq+\sideset {^{4}}{}aq^{2}\right)\\&\qquad \qquad +\left.\alpha ^{3}\left(\sideset {^{5}}{}ap^{3}+\ldots \right)+\ldots \right]\\&+t^{2}\left[\sideset {^{1}}{}{\mathrm {K} }+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \right]\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\end{aligned}}\right\}\\\\+&\cos ht\left\{{\begin{aligned}q&+t\,\ \left[\ \ \mathrm {H} +\alpha \ \ \left(bq+\sideset {^{1}}{}bp\right)\right.\\&\qquad \qquad +\alpha ^{2}\left(\sideset {^{2}}{}bq^{2}+\sideset {^{3}}{}bpq+\sideset {^{4}}{}ap^{2}\right)\\&\qquad \qquad +\left.\alpha ^{3}\left(\sideset {^{5}}{}bq^{3}+\ldots \right)+\ldots \right]\\&+t^{2}\left[\sideset {^{1}}{}{\mathrm {H} }+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \right]\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\end{aligned}}\right\}+\mathrm {R} ,\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7826cba03efa26292121c222a004907024711fb)
étant fonction de
, de sinus et de cosinus.
Présentement, si l’on suppose, dans l’équation
on aura, en l’intégrant,
![{\displaystyle (\mathrm {V} ''')\left\{{\begin{aligned}y=&\sin h(\mathrm {T} +t_{1})\left\{{\begin{aligned}p'&+t_{1}\left[\,\ \mathrm {K} +\alpha \left(ap'+\sideset {^{1}}{}aq'\right)+\ldots \right]\\&+t_{1}^{2}\left[\sideset {^{1}}{}{\mathrm {K} }+\ldots \ldots \ldots \right]\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right\}\\\\+&\cos h(\mathrm {T} +t_{1})\left\{{\begin{aligned}q'&+t_{1}\left[\,\ \mathrm {H} +\alpha \left(bq'+\sideset {^{1}}{}bp'\right)+\ldots \right]\\&+t_{1}^{2}\left[\sideset {^{1}}{}{\mathrm {H} }+\ldots \ldots \ldots \right]\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\end{aligned}}\right\}+\mathrm {R} ',\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43e6fe6e59810769964351724ac7f37944f5af6b)
et
étant deux constantes arbitraires que je détermine au moyen des valeurs de
de
lorsque
étant ce que devient
lorsqu’on y change
en
en
et
en
excepté sous les sinus et les cosinus, où il faut écrire
au lieu de
si l’on compare maintenant les deux valeurs précédentes de
on aura, en observant que