et égalant séparément les coefficients de
et de
![{\displaystyle (f)\quad \left\{{\begin{aligned}p+&(\mathrm {T} +t_{1})\left[\mathrm {K} +\alpha \left(ap+\sideset {^{1}}{}aq\right)+\ldots \right]+(\mathrm {T} +t_{1})^{2}\left[\sideset {^{1}}{}{\mathrm {K} }+\ldots \right]\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&=p'+t_{1}\left[\mathrm {K} +\alpha \left(ap'+\sideset {^{1}}{}aq'\right)+\ldots \right]+t_{1}^{2}\left[\sideset {^{1}}{}{\mathrm {K} }+\ldots \right]\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/392181a91c4460cfa40ea85a53304618c43d36a5)
![{\displaystyle (f')\quad \left\{{\begin{aligned}q+&(\mathrm {T} +t_{1})\left[\mathrm {H} +\alpha \left(bq+\sideset {^{1}}{}bp\right)+\ldots \right]+(\mathrm {T} +t_{1})^{2}\left[\sideset {^{1}}{}{\mathrm {H} }+\ldots \right]\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&=q'+t_{1}\left[\mathrm {H} +\alpha \left(bq'+\sideset {^{1}}{}bp'\right)+\ldots \right]+t_{1}^{2}\left[\sideset {^{1}}{}{\mathrm {H} }+\ldots \right]\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88ea4c81f651f98b0f0d3bbf63e2d7551cecc422)
Je fais dans ces deux équations
et j’observe que l’on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}p'=&p+\mathrm {T} {\frac {dp}{d\mathrm {T} }}+{\frac {\mathrm {T} ^{2}}{1.2}}{\frac {d^{2}p}{d\mathrm {T} ^{2}}}+\ldots ,\\q'=&q+\mathrm {T} {\frac {dq}{d\mathrm {T} }}+{\frac {\mathrm {T} ^{2}}{1.2}}{\frac {d^{2}q}{d\mathrm {T} ^{2}}}+\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a7347afa4e2e2667b9b9404028d245d36eeb239)
Substituant ces valeurs de
et de
dans les deux équations précédentes, on aura, en comparant séparément les termes multipliés par
les deux suivantes :
![{\displaystyle {\begin{array}{ll}(h)&{\cfrac {dp}{d\mathrm {T} }}=\mathrm {K} +\alpha \left(ap+\sideset {^{1}}{}aq\right)\\&\qquad \qquad +\alpha ^{2}\left(\sideset {^{2}}{}ap^{2}+\sideset {^{3}}{}apq+\sideset {^{4}}{}aq^{2}\right)+\alpha ^{3}\left(\sideset {^{5}}{}ap^{3}+\ldots \right)+\ldots ,\\(h')&{\cfrac {dq}{d\mathrm {T} }}=\mathrm {H} +\alpha \left(bq+\sideset {^{1}}{}bp\right)\\&\qquad \qquad +\alpha ^{2}\left(\sideset {^{2}}{}bq^{2}+\sideset {^{3}}{}bpq+\sideset {^{4}}{}bp^{2}\right)+\alpha ^{3}\left(\sideset {^{5}}{}bq^{3}+\ldots \right)+\ldots \,;\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e6d58d6bd53496c452d9c00706b8b9059bd5fca)
il ne s’agit donc plus que d’intégrer ces deux équations ; or voici, pour cela, la méthode qui m’a paru la plus simple.
Soit
![{\displaystyle {\begin{aligned}&p=r+\alpha \left(fr^{2}+\sideset {^{1}}{}frs+\sideset {^{2}}{}fs^{2}\right)+\alpha ^{2}\left(\sideset {^{3}}{}fr^{3}+\ldots \right)+\ldots ,\\&q=s+\alpha \left(gs^{2}+\sideset {^{1}}{}grs+\sideset {^{2}}{}gr^{2}\right)+\alpha ^{2}\left(\sideset {^{3}}{}gs^{3}+\ldots \right)+\ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fb5a308657659d6f7fa5e39e586e27591c296f9)
en différenciant, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dp}{d\mathrm {T} }}={\frac {dr}{d\mathrm {T} }}\left[1+\alpha \left(2fr+\sideset {^{1}}{}fs\right)+\ldots \right]+\alpha {\frac {ds}{d\mathrm {T} }}\left[\left(\sideset {^{1}}{}fr+2\sideset {^{2}}{}fs\right)+\ldots \right],\\{\frac {dq}{d\mathrm {T} }}={\frac {ds}{d\mathrm {T} }}\left[1+\alpha \left(2gs+\sideset {^{1}}{}gr\right)+\ldots \right]+\alpha {\frac {dr}{d\mathrm {T} }}\left[\left(\sideset {^{1}}{}gs+2\sideset {^{2}}{}gr\right)+\ldots \right]\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/608c595de62d5c585f46c15cd3ea8650e00e414a)