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En supposant que cette urne soit $\mathrm {A} ,$ la probabilité d’en tirer $f$ billets blancs et $h$ billets noirs est

${\frac {(f+1)(f+2)\ldots (f+h)p(p-1)\ldots (p-f+1)q(q-1)\ldots (q-h+1)}{1.2.3\ldots h(p+q)(p+q-1)\ldots (p+q-f-h+1)}}.$

Soit $\mathrm {K}$ cette quantité ; si l’on suppose maintenant que l’urne dont j’ai tiré les billets est $\mathrm {B} ,$ la probabilité d’en tirer $f$ billets blancs et $h$ billets noirs se déterminera en changeant, dans $\mathrm {K} ,\ p$ et $q$ en $p'$ et $q'\,;$ soit $\mathrm {K} '$ ce que devient alors cette expression. Cela posé, les probabilités que l’urne dont j’ai tiré les billets est $\mathrm {A}$ ou $\mathrm {B}$ sont entre elles, par le principe énoncé ci-dessus, comme $\mathrm {K}$ est à $\mathrm {K} '\,;$ la probabilité que cette urne est $\mathrm {A}$ est égale à $\mathrm {\frac {K}{K+K'}}$ et celle qu’elle est $\mathrm {B}$ est égale à $\mathrm {\frac {K'}{K+K'}} .$

Nous allons présentement appliquer ce principe à la résolution de quelques problèmes.

III.

Problème I. – Si une urne renferme une infinité de billets blancs et noirs dans un rapport inconnu, et que l’on en tire $p+q$ billets dont $p$ soient blancs et $q$ soient noirs ; on demande la probabilité qu’en tirant un nouveau billet de cette urne il sera blanc.

Solution. – Le rapport du nombre des billets blancs au nombre total des billets contenus dans l’urne peut être un quelconque des nombres fractionnaires compris depuis $0$ jusqu’à $1\,;$ or, si l’on prend un de ces nombres $x$ pour représenter ce rapport inconnu, la probabilité de tirer de l’urne $p$ billets blancs et $q$ billets noirs est, dans ce cas, $x^{p}(1-x)^{q}\,;$ partant la probabilité que $x$ est le vrai rapport du nombre des billets blancs au nombre total des billets est par le principe de l’article précédent égale à ${\frac {x^{p}(1-x)^{q}dx}{\int x^{p}(1-x)^{q}dx}},$ l’intégrale étant prise de manière qu’elle soit nulle lorsque $x=0$ et qu’elle finisse lorsque $x=1\,;$ or, dans la supposition que $x$ est le vrai rapport du nombre des billets blancs au nombre total des billets, la probabilité de tirer un billet blanc de l’urne est $x\,;$ si l’on multiplie maintenant cette quantité par la proba-