mais il faut observer qu’alors la force
est parallèle à
et tend à l’augmenter, et que la force
est perpendiculaire à cette droite et tend à augmenter l’angle
or, comme les équations précédentes ne renferment que les différentielles de cet angle, on peut en fixer où l’on voudra l’origine sur le plan fixe.
Si l’on multiplie l’équation (5) par
et qu’on l’intègre, on aura
![{\displaystyle {\frac {r^{2}d\varphi }{dt}}=c+\int \psi 'rdt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a8c88fdd82df8f7ac9c1ff672d4b1a793b9c706)
étant une constante arbitraire ; donc
(7)
|
|
|
l’équation (4) deviendra, en y substituant cette valeur de ![{\displaystyle {\frac {d\varphi }{dt}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15c1f39b4f58595e51e902f46c7541328f5802ef)
(8)
|
|
|
et si dans l’équation (6) on substitue, au lieu de
sa valeur tirée de l’équation (8), on aura
(9)
|
|
|
au moyen des équations (7), (8) et (9), on déterminera le mouvement du corps dans l’espace.
Je suppose qu’au lieu de
on veuille prendre
pour constant, on mettra l’équation (5) sous cette forme
![{\displaystyle r{\frac {d\varphi }{dt}}+2dr{\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}=\psi 'd\varphi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/311e0b40e345b6a1ea3f9411190072110719d142)
si l’on multiplie cette équation par
le premier membre devient intégrale, et l’on a
![{\displaystyle r^{4}{\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}=h^{2}+2\int r^{3}\psi 'd\varphi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/632be73190fb2a882d6bea7d2c29b7dea0c4e2cd)