étant une constante arbitraire ; donc
![{\displaystyle dt={\frac {r^{2}d\varphi }{\sqrt {h^{2}+2\int r^{3}\psi 'd\varphi }}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a37ddd4d3bbea1325b174846e97f9aee23a44fa6)
ensuite l’équation (4) donne
![{\displaystyle d{\frac {dr}{dt}}-r{\frac {d\varphi ^{2}}{dt}}=\psi dt\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fec180699852ef2ee9efdd766039d434d8dacbf7)
en substituant, au lieu de
sa valeur, et faisant
on aura
![{\displaystyle {\frac {{\cfrac {d^{2}u}{d\varphi ^{2}}}+u+{\cfrac {\psi }{u^{2}}}+{\cfrac {1}{u^{3}}}\psi '{\cfrac {du}{d\varphi }}}{h^{2}+2\int {\cfrac {\psi 'd\varphi }{u^{3}}}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68986cce43c96858b0bc7c4e656eb3e805fe3db3)
L’équation (6) donnera, par un procédé semblable, en y faisant
et en y substituant, au lieu de
sa valeur tirée de l’équation précédente,
![{\displaystyle {\frac {d^{2}s}{d\varphi ^{2}}}+s+{\frac {s\psi -\psi ''+\psi '{\cfrac {ds}{d\varphi }}}{u^{3}\left(h^{2}+2\int {\cfrac {\psi '\partial \varphi }{u^{3}}}\right)}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/203b649f64034cd5e62889f37dc79a46185da796)
IX.
Du mouvement des planètes autour du Soleil, en négligeant
leur action les unes sur les autres.
Je suppose un nombre indéfini de planètes
circulant es autour du Soleil, et que l’on néglige leur action les unes sur les autres ; soit
la masse du Soleil, et concevons cet astre immobile au point
si l’on transporte en sens contraire à la planète
son action sur le Soleil, elle sera sollicitée vers
par une force égale à
d’où l’on tire
![{\displaystyle \psi '=0,\qquad \psi =-{\frac {(\mathrm {S+P} )u^{2}}{\left(1+s^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/754c9926a5d572009c85ac96d50a826de7571028)
et
![{\displaystyle \qquad \psi ''=-{\frac {(\mathrm {S+P} )su^{2}}{\left(1+s^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e015a092c4fbe5709b7fa74a4a635b5e92d4563)