on aura ainsi les trois équations
![{\displaystyle dt={\frac {r^{2}d\varphi }{h}},\qquad {\frac {d^{2}u}{d\varphi ^{2}}}+u-{\frac {\mathrm {S+P} }{h^{2}\left(1+s^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}=0,\qquad {\frac {d^{2}s}{d\varphi ^{2}}}+s=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d6795a4700a5bbb1fbf852cc83ea11e48feb3d8)
étant le petit secteur décrit par le rayon vecteur
durant l’élément du temps
la première de ces trois équations nous apprend que les aires décrites par les rayons vecteurs sont proportionnelles aux temps ; la troisième équation donne, en l’intégrant,
![{\displaystyle s=\alpha \gamma \sin(\varphi +\varpi ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52c1e5726c7419415fbf6775191e7c0b9c26ee12)
et
étant deux constantes arbitraires ; et la seconde donne
![{\displaystyle u={\frac {\mathrm {S+P} }{h^{2}\left(1+\alpha ^{2}\gamma ^{2}\right)}}{\sqrt {1+s^{2}}}+m\cos(\varphi +\varepsilon ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10a1491b5b358b8c6e87dacb40c9eb3d1b5453ca)
et
étant constants et arbitraires. L’expression de
montre que l’orbite est dans un plan invariable, dont la tangente d’inclinaison au plan fixe est
ce qui d’ailleurs est visible. Je suppose donc que le plan fixe soit celui de cette orbite, on aura
et
donc
![{\displaystyle u={\frac {\mathrm {S+P} }{h^{2}}}+m\cos(\varphi +\varepsilon )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1861d21802eab63075d8c174be6926a4408ee5ef)
et
![{\displaystyle r={\frac {1}{{\cfrac {\mathrm {S+P} }{h^{2}}}+m\cos(\varphi +\varepsilon )}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e15cf5947f73750e0493cf3fded792d1adc85c75)
mais si l’on nomme
le demi-grand axe d’une ellipse,
son excentricité,
le rayon vecteur mené d’un des foyers à la courbe,
l’angle compris entre le rayon vecteur et la plus grande des deux parties du grand axe divisé inégalement par le foyer, on a, comme l’on sait.
![{\displaystyle r={\frac {a\left(1-\alpha ^{2}e^{2}\right)}{1-\alpha e\cos(\varphi +\varepsilon )}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f74b2a407226065b12ecb4124a122edf626865d1)
d’où, en comparant cette expression de
à la précédente, on aura
![{\displaystyle m={\frac {-\alpha e}{a\left(1-\alpha ^{2}e^{2}\right)}}\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c63f3e278c3b15d37e6e08828c70fd175f096e67)
et
![{\displaystyle \qquad {\frac {h^{2}}{\mathrm {S+P} }}=a\left(1-\alpha ^{2}e^{2}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d0c550c17a1ef466cfb2b7477043b1f4c92b3fb)