partant,
![{\displaystyle h={\sqrt {(\mathrm {S+P} )a\left(1-\alpha ^{2}e^{2}\right)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4206de1d926ae5b8522963c4d721caef0a88eab9)
Si l’on reprend l’équation
en nommant
le temps d’une révolution entière de
et
la surface de l’ellipse que décrit cette planète, on aura
mais, si l’on désigne par
le rapport de la demi circonférence au rayon, on a
![{\displaystyle \mathrm {E} =a^{2}\pi {\sqrt {\left(1-\alpha ^{2}e^{2}\right)}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/943b3edce0a8ee0e863631d815d414d8b5be3ddc)
donc, si, dans l’expression de
on substitue au lieu de
et de
leurs valeurs, on aura
![{\displaystyle \mathrm {T} ={\frac {2\pi a^{\frac {3}{2}}}{\sqrt {\mathrm {S+P} }}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6e20be3904d802f0dc43f5544ccd37e54bbaafc)
En négligeant
par rapport à
on a
![{\displaystyle \mathrm {T} ={\frac {2\pi a^{\frac {3}{2}}}{\sqrt {\mathrm {S} }}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1b9e9eedfb0bb977c13081a546b9b9b3281918e)
et en marquant d’un, de deux, etc. traits relativement à
les quantités
et
on aura
![{\displaystyle \mathrm {T} '={\frac {2\pi a'^{\frac {3}{2}}}{\sqrt {\mathrm {S} }}},\qquad \mathrm {T} ''={\frac {2\pi a''^{\frac {3}{2}}}{\sqrt {\mathrm {S} }}},\qquad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a81af96885117f2e3e91562ada5ea4644011677)
Donc
![{\displaystyle \mathrm {T':(T')^{2}:(T'')^{2}} :\ldots ::a^{3}:(a')^{3}:(a'')^{3}:\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af03b8fa6821f9c6fc729d8bfeac5fb2b7b4c0dd)
Soit
le moyen mouvement de
autour du Soleil, en sorte que l’on ait
égal à
plus à une fonction de quantités périodiques, on aura
![{\displaystyle n\mathrm {T} =360^{\circ }=2\pi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8b882736b6b16b9b9464a6a5e8f1f7e8a5c1741)
donc, puisque
![{\displaystyle \mathrm {T} ={\frac {2\pi a^{\frac {3}{2}}}{\sqrt {\mathrm {S+P} }}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15525ae53fabf96e84ed99792f1158c8228cd4eb)
on aura
![{\displaystyle n^{2}={\frac {\mathrm {S+P} }{a^{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b9449cff5582f8a9d1e4a0fd08e5151bd1c18f9)
et
![{\displaystyle h={\sqrt {(\mathrm {S+P} )a\left(1-\alpha ^{2}e^{2}\right)}}=na^{2}\left(1-\alpha ^{2}e^{2}\right)^{\frac {1}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/133aece67db3178ce66af50ff526645a834c018e)