partant,
![{\displaystyle d\varphi ={\frac {hdt}{r^{2}}}={\frac {ndt}{\left(1-\alpha ^{2}e^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\left[1-\alpha e\cos(\varphi +\varepsilon )\right]^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab0cff61cbd02b5f39e2eecbc04c3b8184f80219)
Pour déterminer
en
je suppose l’origine des angles
et
à l’aphélie, en sorte que la planète parte de ce point au premier instant de son mouvement, on aura
soit
![{\displaystyle \varphi =nt+\alpha z+\alpha ^{2}z'+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5124136d98d548678f76139a3f64046888ab77d8)
on aura, en réduisant
ou
et
en suites ascendantes par rapport à ![{\displaystyle \alpha ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b2cc8f6d373595f06dcd33f127dadf2b9d5727f)
![{\displaystyle {\begin{aligned}d\varphi =&ndt+\alpha dz+\alpha ^{2}dz'+\ldots ,\\=&dt\left(1-2\alpha e\cos nt+2\alpha ^{2}e^{2}+\ldots +2\alpha ^{2}ez\sin nt+{\frac {\alpha ^{2}e^{2}}{2}}\cos 2nt\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67241f83068db4dcc7a020df4dcacd98884aec35)
De là je conclus, en comparant ensemble les termes de l’ordre
ceux de l’ordre
![{\displaystyle {\begin{aligned}dz=&-2endt\cos nt,\\dz'=&ndt\left(2e^{2}+2ez\sin nt+{\frac {e^{2}}{2}}\cos 2nt\right),\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fc8e2835c639b3740cd771f1b3fdd8b2da221a4)
En intégrant ces équations et faisant en sorte que
soient nuls avec
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}z\ =&-2e\sin nt,\\z'=&{\frac {5}{4}}e^{2}\sin 2nt,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41c7d6b1e9e92ada96301bcf1befe4c21ad29def)
donc
![{\displaystyle \varphi =nt-2\alpha e\sin nt+{\frac {5}{4}}\alpha ^{2}e^{2}\sin 2nt+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bc17ae97e3b94579afbc7edbdb75e8fab6ba80a)
Pour déterminer présentement
en
j’observe que l’équation
donne
![{\displaystyle r={\sqrt {\frac {hdt}{d\varphi }}}={\frac {a\left(1-\alpha ^{2}e^{2}\right)^{\frac {1}{4}}}{\left(1-2\alpha e\cos nt+{\cfrac {5}{2}}\alpha ^{2}e^{2}\cos 2nt+\ldots \right)^{\frac {1}{2}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/462461b9f1dfa0c8b757d0d347514be1d8ddadda)