la manière suivante : pour cela, j’observe que l’on a
![{\displaystyle \operatorname {l} 1+\operatorname {l} 2+\operatorname {l} 3+\ldots +\operatorname {l} x={\frac {1}{2}}\operatorname {l} 2\pi +\left(x+{\frac {1}{2}}\right)\operatorname {l} x-x+{\frac {1}{12x}}-\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc76f7b35519fb1aeef4c65754e42d5edfea9f70)
exprimant le rapport de la demi-circonférence au rayon (voir les Institutions du Calcul différentiel de M. Euler) ; de là il suit que, si l’on nomme
le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité, on aura, en supposant
et
de très grands nombres,
![{\displaystyle (q+1)(q+2)\ldots (q+n)={\frac {1.2.3\ldots (q+n)}{1.2.3\ldots q}}={\frac {(q+n)^{q+n+{\frac {1}{2}}}}{e^{n}q^{q+{\frac {1}{2}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e722e083c6e64e5546c54ef24fe7ef56bfc9ed76)
pareillement
![{\displaystyle (p+1)\ldots (p+q+1)={\frac {(p+q+1)^{p+q+{\frac {3}{2}}}}{e^{q+1}p^{p+{\frac {1}{2}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ac341bb739bb3f0be1cead3ef877400c7119729)
et
![{\displaystyle (p+m+1)\ldots (p+q+m+n+1)={\frac {(p+q+m+n+1)^{p+q+m+n+{\frac {3}{2}}}}{e^{q+n+1}(p+m)^{p+m+{\frac {1}{2}}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd772d00ab6baa7aa3b05a3f66408a17dc37d75e)
Donc
![{\displaystyle \mathrm {E} ={\frac {(p+q+1)^{p+q+{\frac {3}{2}}}(p+m)^{p+m+{\frac {1}{2}}}(q+n)^{q+n+{\frac {1}{2}}}}{q^{q+{\frac {1}{2}}}p^{p+{\frac {1}{2}}}(p+q+m+n+1)^{p+q+m+n+{\frac {3}{2}}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f24823f609aadfa578aeeda5a05bce9cf9d4af3e)
nous observerons ici que
![{\displaystyle (p+q+1)^{p+q+{\frac {3}{2}}}=e(p+q)^{p+q+{\frac {3}{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a03c7a498b09618780d2597a25ce181efa52f036)
parce que
![{\displaystyle \left(1+{\frac {1}{p+q}}\right)^{p+q+{\frac {3}{2}}}=e,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf4397787e7137a474f07cc899a7f27bcffb29a0)
en supposant
infiniment grand. Semblablement, si nous supposons
et
fort petits par rapport à
et à
nous aurons
![{\displaystyle {\begin{aligned}(p+m)^{p+m+{\frac {1}{2}}}=&e^{m}p^{p+m+{\frac {1}{2}}},\\(q+n)^{q+n+{\frac {1}{2}}}=&e^{n}p^{q+n+{\frac {1}{2}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbc8950afd760af1d1976c9a89c53f0371c3f1a2)
et
![{\displaystyle (p+q+m+n+1)^{p+q+m+n+{\frac {3}{2}}}=e^{m+n+1}(p+q)^{p+q+m+n+{\frac {3}{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca63b6906e772002dff94d96d69804d89d705a47)