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donc alors nous aurons

$\mathrm {E} ={\frac {p^{m}q^{n}}{(p+q)^{m+n}}}.$

De là on peut conclure que, $p$ et $q$ étant supposés fort grands, tant que $m$ et $n$ seront beaucoup moindres, on pourra, sans craindre aucune erreur sensible, calculer la probabilité de tirer de l’urne des billets blancs et noirs, en supposant que dans cette urne le rapport du nombre des billets blancs est à celui des billets noirs comme $p$ est à $q\,;$ mais cette supposition devient fautive lorsque $m$ et $n$ sont fort grands, ce qu’il me paraît essentiel de remarquer. Pour le faire voir, supposons $m=p$ et $n=q,$ nous aurons

$\mathrm {E} ={\sqrt {\frac {1}{2}}}{\frac {p^{m}q^{n}}{(p+q)^{m+n}}}=0{,}7071{\frac {p^{m}q^{n}}{(p+q)^{m+n}}},$

expression, comme l’on voit, différente de celle-ci

$\mathrm {E} ={\frac {p^{m}q^{n}}{(p+q)^{m+n}}},$

à laquelle on parvient en représentant par ${\frac {p}{p+q}}$ le rapport du nombre des billets blancs au nombre total des billets contenus dans l’urne.

La solution de ce problème donne une méthode directe pour déterminer la probabilité des événements futurs d’après ceux qui sont déjà arrivés ; mais, cette matière étant fort étendue, je me bornerai ici à donner une démonstration assez singulière du théorème suivant ;

On peut supposer les nombres $p$ et $q$ tellement grands, qu’il devienne aussi approchant que l’on voudra de la certitude que le rapport du nombre de billets blancs au nombre total des billets renfermés dans l’urne est compris entre les deux limites ${\frac {p}{p+q}}-\omega$ et ${\frac {p}{p+q}}+\omega ,\ \omega$ pouvant être supposé moindre qu’aucune grandeur donnée.

Pour démontrer ce théorème, j’observe que la probabilité du rapport $x$ est, par ce qui précède, égale à

${\frac {(p+1)(p+2)\ldots (p+q+1)}{1.2.3\ldots q}}x^{p}(1-x)^{q}dx.$