Soit
et nous aurons
![{\displaystyle \int x^{p}(1-x)^{q}dx={\frac {p^{p}q^{q}}{(p+q)^{p+q}}}\int \left(1+{\frac {p+q}{p}}z\right)^{p}\left(1-{\frac {p+q}{q}}z\right)^{q}dz.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9b5a41812e2da418eec114a7f2e7082d63e593c)
Si l’on intègre cette quantité depuis
jusqu’à
en multipliant cette intégrale par
on aura la probabilité que le rapport du nombre des billets blancs au nombre total des billets est compris entre les limites
et
Pareillement, si l’on intègre
![{\displaystyle {\frac {p^{p}q^{q}}{(p+q)^{p+q}}}\int \left(1-{\frac {p+q}{p}}z\right)^{p}\left(1+{\frac {p+q}{q}}z\right)^{q}dz,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ecda939ce94b7c7c6c7c3f3257c5146c874bd8b)
depuis
jusqu’à
en multipliant cette intégrale par
on aura la probabilité que le rapport du nombre des billets blancs au nombre total des billets est compris entre les limites
et
La somme de ces deux quantités exprime donc la probabilité que ce rapport est contenu entre les limites
et
Nommons
cette probabilité ; supposons d’ailleurs
et
infiniment grands, et que
ou la plus grande valeur de
soit infiniment moindre que
et infiniment plus grande que
qu’elle soit égale, par exemple, à
étant plus grand que
et moindre que ![{\displaystyle 3.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d75e17f7e7094c457fa7c8f743c3d8622eebd8ef)
Si l’on fait présentement
on aura, en réduisant en séries,
![{\displaystyle u=-(p+q)z-{\frac {(p+q)^{2}}{2p}}z^{2}-{\frac {(p+q)^{3}}{3p^{2}}}z^{3}-\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45994055455629c6a52017f6cd38188c51c4af9b)
Donc
![{\displaystyle \left(1-{\frac {p+q}{p}}z\right)^{p}=e^{u}=e^{-(p+q)z-{\frac {(p+q)^{2}}{2p}}z^{2}-\ldots }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8380a78a75bf8a44c49f0b1eaadddc5900876758)
Nous pouvons négliger ici le terme
et les suivants, car la