plus grande valeur de
étant par la supposition égale à
on aura
![{\displaystyle e^{-{\frac {(p+q)^{3}}{3p^{2}}}z^{3}}=e^{-{\frac {(p+q)^{3-{\frac {3}{n}}}}{3p^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63c1889cb625f1ea47fb62bee36481c1d34340c7)
dans le cas où
aura le plus grand exposant négatif ; or, puisque
est moindre que
cet exposant est visiblement infiniment petit, et partant on peut supposer
égal à l’unité. On aura pareillement
![{\displaystyle \left(1+{\frac {p+q}{q}}z\right)^{q}=e^{(p+q)z-{\frac {(p+q)^{2}}{2q}}z^{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88cc0bd53607fb22654e8e5b0b43dbb0896bef06)
De là on conclura facilement
![{\displaystyle \mathrm {E} ={\frac {(p+1)\ldots (p+q+1)}{1.2.3\ldots q}}{\frac {p^{p}q^{q}}{(p+q)^{p+q}}}\int 2e^{-{\frac {(p+q)^{2}}{2pq}}z^{2}}dz\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b81050a70693b40c5541a3a9544aa0b5de7503c)
or on a
![{\displaystyle {\frac {(p+1)\ldots (p+q+1)}{1.2.3\ldots q}}={\frac {(p+q)^{p+q+{\frac {3}{2}}}}{p^{p+{\frac {1}{2}}}q^{q+{\frac {1}{2}}}{\sqrt {2\pi }}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed314804531d0017ad2b2f874d5f18ee9634b890)
Donc
![{\displaystyle \mathrm {E} ={\frac {(p+q)^{\frac {3}{2}}}{{\sqrt {2\pi }}{\sqrt {pq}}}}\int 2e^{-{\frac {(p+q)^{3}}{2pq}}z^{2}}dz.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a2a17c143c80cbacfca54d90bdf2e4d168722d)
1.3. 3\ldots 9 {p+qy^
Soit
et l’on aura
![{\displaystyle \int 2e^{-{\frac {(p+q)^{3}}{2pq}}z^{2}}dz=-{\frac {\sqrt {2pq}}{(p+q)^{\frac {3}{2}}}}\int {\frac {d\mu }{\sqrt {-\operatorname {l} \mu }}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf6129bdee2e2b008059d3d1c51d97295f358fed)
le nombre
peut ici recevoir tous les accroissements possibles depuis
jusqu’à
et, en supposant l’intégrale commencer lorsque
nous avons ici besoin de sa valeur lorsque
Voici maintenant comment on peut la déterminer ; pour cela, nous ferons usage du théorème suivant. (Voir le Calcul intégral de M. Euler.) En supposant que l’intégrale commence lorsque
et finisse lorsque
on a
![{\displaystyle \int {\frac {\mu ^{n}d\mu }{\sqrt {1-\mu ^{2i}}}}\int {\frac {\mu ^{n+i}d\mu }{\sqrt {1-\mu ^{2i}}}}={\frac {1}{i(n+1)}}{\frac {\pi }{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/140facdfd17b963285a085740b2aaf32f64cfcb1)