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plus grande valeur de $z$ étant par la supposition égale à ${\frac {1}{(p+q)^{\frac {1}{n}}}},$ on aura

$e^{-{\frac {(p+q)^{3}}{3p^{2}}}z^{3}}=e^{-{\frac {(p+q)^{3-{\frac {3}{n}}}}{3p^{2}}}}$

dans le cas où $e$ aura le plus grand exposant négatif ; or, puisque $n$ est moindre que $3,$ cet exposant est visiblement infiniment petit, et partant on peut supposer $e^{-{\frac {(p+q)^{3}}{3p^{2}}}z^{3}-\ldots }$ égal à l’unité. On aura pareillement

$\left(1+{\frac {p+q}{q}}z\right)^{q}=e^{(p+q)z-{\frac {(p+q)^{2}}{2q}}z^{2}}.$

De là on conclura facilement

$\mathrm {E} ={\frac {(p+1)\ldots (p+q+1)}{1.2.3\ldots q}}{\frac {p^{p}q^{q}}{(p+q)^{p+q}}}\int 2e^{-{\frac {(p+q)^{2}}{2pq}}z^{2}}dz\,;$

or on a

${\frac {(p+1)\ldots (p+q+1)}{1.2.3\ldots q}}={\frac {(p+q)^{p+q+{\frac {3}{2}}}}{p^{p+{\frac {1}{2}}}q^{q+{\frac {1}{2}}}{\sqrt {2\pi }}}}.$

Donc

$\mathrm {E} ={\frac {(p+q)^{\frac {3}{2}}}{{\sqrt {2\pi }}{\sqrt {pq}}}}\int 2e^{-{\frac {(p+q)^{3}}{2pq}}z^{2}}dz.$

1.3. 3\ldots 9 {p+qy^

Soit $-{\frac {(p+q)^{3}}{2pq}}z^{2}=\operatorname {l} \mu ,$ et l’on aura

$\int 2e^{-{\frac {(p+q)^{3}}{2pq}}z^{2}}dz=-{\frac {\sqrt {2pq}}{(p+q)^{\frac {3}{2}}}}\int {\frac {d\mu }{\sqrt {-\operatorname {l} \mu }}}\,;$

le nombre $\mu$ peut ici recevoir tous les accroissements possibles depuis $0$ jusqu’à $1,$ et, en supposant l’intégrale commencer lorsque $\mu =1,$ nous avons ici besoin de sa valeur lorsque $\mu =0.$ Voici maintenant comment on peut la déterminer ; pour cela, nous ferons usage du théorème suivant. (Voir le Calcul intégral de M. Euler.) En supposant que l’intégrale commence lorsque $\mu =0$ et finisse lorsque $\mu =1,$ on a

$\int {\frac {\mu ^{n}d\mu }{\sqrt {1-\mu ^{2i}}}}\int {\frac {\mu ^{n+i}d\mu }{\sqrt {1-\mu ^{2i}}}}={\frac {1}{i(n+1)}}{\frac {\pi }{2}},$