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quels que soient $n$ et $i.$ Supposons conséquemment $n=0$ et $i$ infiniment petit ; nous aurons

${\frac {1-\mu ^{2i}}{2i}}=-\operatorname {l} \mu ,$

car le numérateur et le dénominateur de cette quantité devenant nuls par la supposition de $i=0,$ si l’on différentie l’un et l’autre en regardant $i$ seule comme variable, on aura

${\frac {1-\mu ^{2i}}{2i}}=-\operatorname {l} \mu ,$

partant $1-\mu ^{2i}=-2i\operatorname {l} \mu \,;$ on aura donc dans ces suppositions

$\int {\frac {\mu ^{n}d\mu }{\sqrt {1-\mu ^{2i}}}}\int {\frac {\mu ^{n+i}d\mu }{\sqrt {1-\mu ^{2i}}}}=\int {\frac {d\mu }{{\sqrt {2i}}{\sqrt {-\operatorname {l} \mu }}}}\int {\frac {d\mu }{{\sqrt {2i}}{\sqrt {-\operatorname {l} \mu }}}}={\frac {1}{i}}{\frac {\pi }{2}}\,;$

partant

$\int {\frac {d\mu }{\sqrt {-\operatorname {l} \mu }}}={\sqrt {\pi }},$

en supposant l’intégrale commencer lorsque $\mu =0$ et finir lorsque $\mu =1\,;$ mais comme, dans le cas précédent, cette intégrale commence lorsque $\mu =1$ et finit lorsque $\mu =0,$ nous aurons

$\int -{\frac {d\mu }{\sqrt {-\operatorname {l} \mu }}}={\sqrt {\pi }}.$

Donc

$\int 2e^{-{\frac {(p+q)^{3}}{2pq}}}z^{2}dz={\frac {{\sqrt {pq}}{\sqrt {2\pi }}}{(p+q)^{\frac {3}{2}}}},$

d’où nous obtiendrons $\mathrm {E} =1\,;$ on voit donc qu’en négligeant les quantités infiniment petites, nous pouvons regarder comme certain que le rapport du nombre des billets blancs au nombre total des billets est compris entre les limites ${\frac {p}{p+q}}+\omega$ et ${\frac {p}{p+q}}-\omega ,\ \omega$ étant égal à ${\frac {1}{\sqrt[{n}]{p+q}}},\ n$ étant plus grand que $2$ et moindre que $3,$ et à plus forte raison $n$ étant plus grand que $3\,;$ partant $\omega$ peut être supposé moindre qu’aucune grandeur donnée.