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puissances supérieures ; dans ce cas, on aura

$\int \Gamma (u)ds=\int r\Gamma (u)d\varphi \,;$

or

$\Gamma (u)=\Gamma \left[{\frac {1-\alpha e\cos(\varphi +\varepsilon )}{a}}\right]=\Gamma \left({\frac {1}{a}}\right)-{\frac {\alpha e}{a}}\cos(\varphi +\varepsilon )\Gamma '\left({\frac {1}{a}}\right),$

en exprimant ${\frac {d\Gamma (u)}{du}}$ par $\Gamma '(u)\,;$ donc

$\int \Gamma (u)ds=a\Gamma \left({\frac {1}{a}}\right)\varphi +\sin(\varphi +\varepsilon )\left[\alpha ea\Gamma \left({\frac {1}{a}}\right)-\alpha e\Gamma '\left({\frac {1}{a}}\right)\right]\,;$

donc

${\begin{aligned}\mathrm {A} =&{\frac {2(\mathrm {S+P} )}{h^{2}}}a\Gamma \left({\frac {1}{a}}\right),\\\mathrm {B} =&{\frac {2(\mathrm {S+P} )}{h^{2}}}\alpha e\left[a\Gamma \left({\frac {1}{a}}\right)-\Gamma '\left({\frac {1}{a}}\right)\right]\,;\end{aligned}}$

mais on a (art. IX)

${\frac {\mathrm {S+P} }{h^{2}}}={\frac {1}{a}}\,;$

partant,

$\mathrm {A} =2\Gamma \left({\frac {1}{a}}\right),\qquad {\frac {2\alpha e}{a}}\left[a\Gamma \left({\frac {1}{a}}\right)-\Gamma '\left({\frac {1}{a}}\right)\right]\,;$

on aura donc les deux équations

${\begin{aligned}d{\frac {\cfrac {1}{a}}{dx}}=&{\frac {2\Gamma \left({\cfrac {1}{a}}\right)}{a^{\frac {3}{2}}}},\\d{\frac {\cfrac {\alpha e}{a}}{dx}}=&{\frac {\alpha e}{a^{\frac {5}{2}}}}\left[a\Gamma \left({\frac {1}{a}}\right)-\Gamma '\left({\frac {1}{a}}\right)\right]\,;\end{aligned}}$

partant,

${\begin{aligned}{\frac {da}{dx{\sqrt {a}}}}=&-2\Gamma \left({\frac {1}{a}}\right),\\{\frac {de}{dx}}=&-{\frac {e}{a^{\frac {3}{2}}}}\left[a\Gamma \left({\frac {1}{a}}\right)-\Gamma '\left({\frac {1}{a}}\right)\right].\end{aligned}}$

Puisque nous supposons $e$ très petit, il faut que la valeur de $e$ soit telle, qu’elle reste toujours fort petite, sans quoi la solution précé-