Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 8.djvu/58

leurs différences, il suit que nous devons, conformément aux règles des probabilités, supposer le rapport de deux différences consécutives et infiniment petites égal à celui des ordonnées correspondantes. On aura ainsi

${\frac {d\varphi (x+dx)}{d\varphi (x)}}={\frac {\varphi (x+dx)}{\varphi (x)}},$

partant

${\frac {d\varphi (x)}{dx}}=-m\varphi (x),$

ce qui donne

$\varphi (x)={\text{ϐ}}e^{-mx}.$

Telle est donc la valeur que nous devons choisir pour $\varphi (x).$ La constante ϐ doit se déterminer par cette supposition que l’aire entière de la courbe $\mathrm {ORM}$ soit égale à l’unité qui représente la certitude, ce qui donne

ϐ$={\frac {1}{2}}m,\qquad$partant$\qquad \varphi (x)={\frac {m}{2}}e^{-mx},$

$e$ étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité.

On peut objecter contre cette loi qu’en supposant $x$ extrêmement grand $\varphi (x)$ ne serait pas nul, ce qui répugne ; mais, à cela, je réponds que, bien que $e^{-mx}$ ait une valeur réelle, quel que soit $x,$ cette valeur cependant est si petite lorsque $x$ devient extrêmement grand, qu’elle peut être regardée comme nulle.

Maintenant, en admettant cette loi, déterminons l’aire de la courbe $\mathrm {HOL}$ (fig. 1).

1^o Depuis $a$ jusqu’en $b,$ l’ordonnée de la courbe $\mathrm {HOL}$ est

$y={\frac {m^{3}}{8}}e^{-m(2p+q-x)}.$

Partant, l’aire de la courbe dans cet intervalle sera

${\frac {m^{2}}{8}}e^{-m(2p+q)}\left(e^{mx}-1\right).$

2^o Depuis $b$ jusqu’en $c,$ l’ordonnée de la courbe sera

$y={\frac {m^{3}}{8}}e^{-m(x+q)},$