Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 8.djvu/59

et l’aire de la courbe dans cet intervalle sera

${\frac {m^{2}}{8}}e^{-mq}\left(e^{-mp}-e^{-mx}\right).$

3^o Depuis $c$ jusqu’à l’infini, l’aire de la courbe sera

${\frac {m^{2}}{3.8}}e^{-m(p+2q)}.$

4^o Depuis $a$ jusqu’à l’infini, du côté de $\mathrm {A} ,$ l’aire de la courbe sera

${\frac {m^{2}}{3.8}}e^{-m(q+2p)}\,;$

l’aire entière de la courbe sera donc

${\frac {m^{2}}{8}}e^{-m(p+q)}\left(1-{\frac {1}{3}}e^{-mp}-{\frac {1}{3}}e^{-mq}\right).$

On peut observer que le point $\mathrm {V} ,$ tel que l’ordonnée $\mathrm {OV}$ partage l’aire de la courbe en deux parties égales, doit nécessairement tomber entre les points $a$ et $b,$ en supposant $p>q\,;$ ou entre les points $b$ et $c,$ en supposant $q>p\,;$ car l’aire de la courbe à gauche de l’ordonnée $b\mathrm {R}$ est

${\frac {m^{2}}{8}}e^{-m(p+q)}\left(1-{\frac {2}{3}}e^{-mp}\right),$

laquelle est visiblement plus grande ou moindre que la moitié de l’aire entière, suivant que $p$ est plus grand ou moindre que $q\,;$ nous le supposerons plus grand dans la suite du calcul. Cela posé, pour déterminer la distance $x$ du point $a$ au point $\mathrm {V}$ où l’on doit fixer le véritable instant du phénomène, on aura l’équation suivante

$m^{2}e^{-m(2p+q-x)}=m^{2}e^{-m(p+q)}\left(1+{\frac {1}{3}}e^{-mp}-{\frac {1}{3}}e^{-mq}\right),$

d’où l’on tire

$x=p+{\frac {1}{m}}\operatorname {l} \left(1+{\frac {1}{3}}e^{-mp}-{\frac {1}{3}}e^{-mq}\right).$