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Remarque sur la méthode des milieux arithmétiques.

La méthode en usage parmi les observateurs consiste à prendre un milieu arithmétique entre les trois observations, ce qui donnerait $x={\frac {2p+q}{3}}.$ Or cette méthode revient à supposer, dans les formules précédentes, $m=0$ ou infiniment petit ; car alors on a

$\operatorname {l} \left(1+{\frac {1}{3}}e^{-mp}-{\frac {1}{3}}e^{-mq}\right)={\frac {1}{3}}e^{-mp}-{\frac {1}{3}}e^{-mq}.$

Or

${\frac {1}{3}}e^{-mp}={\frac {1}{3}}-{\frac {1}{3}}mp\qquad$et$\qquad {\frac {1}{3}}e^{-mq}={\frac {1}{3}}-{\frac {1}{3}}mq\,;$

donc

${\frac {1}{m}}\operatorname {l} \left(1+{\frac {1}{3}}e^{-mp}-{\frac {1}{3}}e^{-mq}\right)=-{\frac {1}{3}}p+{\frac {1}{3}}q\,;$

partant

$x=p+{\frac {1}{m}}\operatorname {l} \left(1+{\frac {1}{3}}e^{-mp}-{\frac {1}{3}}e^{-mq}\right)={\frac {2p+q}{3}},$

la même valeur que donne la méthode des milieux arithmétiques.

La supposition de $m$ infiniment petit donne (fig. 2) tous les points de la droite $\mathrm {KP}$ également probables, au moins jusqu’à une distance extrêmement grande ; ce qui est hors de toute vraisemblance par la nature même de la chose et par le résultat du calcul, comme on va le voir dans un moment. On sent par là combien cette supposition est peu naturelle, et combien il est nécessaire dans des circonstances délicates de faire usage de la méthode suivante.

Si $m$ était connue, il serait facile par ce qui précède d’avoir la valeur de $x\,;$ mais, cette quantité étant inconnue, il faut nécessairement recourir à d’autres moyens pour obtenir cette valeur.

D’après le principe fondamental de l’Article II, les probabilités des différentes valeurs de $m$ sont entre elles comme les probabilités que, ces valeurs ayant lieu, les trois observations auront les distances respectives qu’elles ont entre elles. Or les probabilités que les trois observations $a,b$ et $c$ (fig. 1) s’éloigneront les unes des autres aux distances $p$ et $q$ sont entre elles comme les aires des courbes $\mathrm {HOL} ,$ correspondantes aux différentes valeurs de $m,$ comme il est facile de s’en assurer.