est du premier ordre, celle-ci
![{\displaystyle y_{x}=\mathrm {H} _{x}y_{x-1}+^{1}\!\mathrm {H} _{x}y_{x-2}+\mathrm {X} _{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/310f6c43e443d39497c4ec60f42d76776ce0ebe0)
est du second ordre, et ainsi de suite.
Comme dans la suite j’aurai besoin de caractéristiques pour désigner la différence finie des quantités, leurs intégrales finies, le produit de tous les termes d’une suite, je me servirai pour cela des suivantes.
La caractéristique
placée devant une quantité en désignera, comme ci-dessus, la différence finie : ainsi
exprimera la différence finie de
la caractéristique
placée devant une quantité en désignera l’intégrale finie : ainsi
signifiera l’intégrale finie de
enfin la caractéristique
désignera le produit de tous les termes d’une suite : ainsi
représentera le produit
de tous les termes de la suite
III.
Problème I. – L’équation différentielle du premier ordre
![{\displaystyle y_{x}=\mathrm {H} _{x}y_{x-1}+\mathrm {X} _{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53852a0d737da772d46fb006a8cd37552338de88)
étant donnée, on propose de l’intégrer.
Je fais dans cette équation
elle devient
![{\displaystyle u_{x}\nabla \mathrm {H} _{x}=\mathrm {H} _{x}u_{x-1}\nabla \mathrm {H} _{x-1}+\mathrm {X} _{x}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c5d4350ee5ec4c50a002f3db774451eb85547f9)
mais on a
![{\displaystyle \mathrm {H} _{x}\nabla \mathrm {H} _{x-1}=\nabla \mathrm {H} _{x},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95da7e38b97e45db4b489059c2dc3f73ba5576d5)
partant
![{\displaystyle u_{x}=u_{x-1}+{\frac {\mathrm {X} _{x}}{\nabla \mathrm {H} _{x}}}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10c2f5abdc9e973d495d60115455902acf9394fe)
ou
![{\displaystyle \quad \Delta u_{x-1}={\frac {\mathrm {X} _{x}}{\nabla \mathrm {H} _{x}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3c34668ac0a6254fd1a42160af61614ffa4d69e)
et, comme cette équation a lieu quel que soit
on aura
![{\displaystyle \Delta u_{x}={\frac {\mathrm {X} _{x+1}}{\nabla \mathrm {H} _{x+1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f54258d0b2a0a1959da9db4e4d18943b3f7a06a)