partant, en intégrant,
![{\displaystyle u_{x}=\mathrm {A} +\sum {\frac {\mathrm {X} _{x+1}}{\nabla \mathrm {H} _{x+1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0ecb10a7d24f6e271dd6eb3c5e2e0d637462418)
étant une constante arbitraire. On a donc
![{\displaystyle y_{x}=\nabla \mathrm {H} _{x}\left(\mathrm {A} +\sum {\frac {\mathrm {X} _{x+1}}{\nabla \mathrm {H} _{x+1}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/820f1cfeef11bfad464e1d0c3f44f53198e39339)
Si
était constant et égal à
on aurait
![{\displaystyle \nabla \mathrm {H} _{x}=p^{x}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9584a06f14c9a2aa5361efa70f6526fce563dd7)
et
![{\displaystyle \quad y_{x}=p^{x}\left(\mathrm {A} +\sum {\frac {\mathrm {X} _{x+1}}{p^{x+1}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5ebdb5fb63a6aca1f3f2a523fe0302718db7161)
IV.
Problème II. – L’équation diffèrentio-différentielle
(B)
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étant donnée, on propose de l’intégrer.
Je fais
(C)
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et
étant deux nouvelles variables, et j’en conclus les équations suivantes :
![{\displaystyle {\begin{aligned}y_{x-1}=&\alpha _{x-1}y_{x-2}+\mathrm {T} _{x-1},\\y_{x-2}=&\alpha _{x-2}y_{x-3}+\mathrm {T} _{x-2},\\y_{x-3}=&\alpha _{x-3}y_{x-4}+\mathrm {T} _{x-3},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\y_{x-n+1}=&\alpha _{x-n+1}y_{x-n}+\mathrm {T} _{x-n+1}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/290259e22387a1dd5a2ef5deb84659912112409c)
je multiplie la première de ces équations par
la deuxième par
la troisième par
et je les ajoute avec l’équation (C) ; ce qui me donne
![{\displaystyle {\begin{aligned}y_{x}=&\left(\alpha _{x}+^{1}\!{\text{ϐ}}\right)y_{x-1}+\left(-^{1}\!{\text{ϐ}}\alpha _{x-1}+^{2}\!{\text{ϐ}}\right)y_{x-2}\\&+\left(-^{2}\!{\text{ϐ}}\alpha _{x-2}+^{3}\!{\text{ϐ}}\right)y_{x-3}+\ldots -^{n-1}\!{\text{ϐ}}\alpha _{x-n+1}y_{x-n}\\&+\mathrm {T} _{x}-^{1}\!{\text{ϐ}}\mathrm {T} _{x-1}-^{2}\!{\text{ϐ}}\mathrm {T} _{x-2}-\ldots -^{n-1}\!{\text{ϐ}}\mathrm {T} _{x-n+1}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/070225c7b9127ece48c99865cad2494c750e2925)