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En comparant cette équation avec l’équation (B), on aura

1^o

$\mathrm {T} _{x}=^{1}\!{\text{ϐ}}\mathrm {T} _{x-1}+^{2}\!{\text{ϐ}}\mathrm {T} _{x-2}+\ldots +^{n-1}\!{\text{ϐ}}\mathrm {T} _{x-n+1}+\mathrm {X} _{x}\,;$

2^o Les équations suivantes :

${\begin{aligned}^{1}\!{\text{ϐ}}+\ \ \alpha _{x}\ \ =&\ \mathrm {H} _{x},\\^{2}\!{\text{ϐ}}-^{1}\!{\text{ϐ}}\alpha _{x-1}=&^{1}\!\mathrm {H} _{x},\\^{3}\!{\text{ϐ}}-^{2}\!{\text{ϐ}}\alpha _{x-2}=&^{2}\!\mathrm {H} _{x},\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots ,\\-^{n-1}\!{\text{ϐ}}\alpha _{x-n+1}=&^{n-1}\!\mathrm {H} _{x}.\end{aligned}}$

De là on conclura

${\begin{aligned}^{1}\!{\text{ϐ}}=&-\alpha _{x},\\^{2}\!{\text{ϐ}}=&^{1}\!\mathrm {H} _{x}+\alpha _{x-1}\ \ \mathrm {H} _{x}-\alpha _{x}\alpha _{x-1},\\^{3}\!{\text{ϐ}}=&^{2}\!\mathrm {H} _{x}+\alpha _{x-2}.^{1}\!\mathrm {H} _{x}+\alpha _{x-1}\alpha _{x-2}\mathrm {H} _{x}-\alpha _{x}\alpha ^{x-1}\alpha _{x-2},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\ldots \ldots \ldots \ldots \\-^{n-1}\!{\text{ϐ}}=&^{n-2}\!\mathrm {H} _{x}+\alpha _{x-n+2}.^{n-3}\!\mathrm {H} _{x}+\alpha _{x-n+3}\alpha _{x-n+2}.^{n-4}\!\mathrm {H} _{x}+\ldots \\&\qquad \qquad \qquad \qquad -\alpha _{x}\alpha _{x-1}\ldots \alpha _{x-n+2}=-{\frac {^{n-1}\!\mathrm {H} _{x}}{\alpha _{x-n+1}}},\end{aligned}}$

à cause de l’équation

$-^{n-1}\!{\text{ϐ}}\alpha _{x-n+1}=^{n-1}\!\mathrm {H} _{x}\,;$

on aura donc, pour résoudre le problème, les deux équations suivantes :

(D)

$\left\{{\begin{aligned}\mathrm {T} _{x}=&\left(\mathrm {H} _{x}-\alpha _{x}\right)\mathrm {T} _{x-1}+\left(^{1}\!\mathrm {H} _{x}+\alpha _{x-1}\mathrm {H} _{x}-\alpha _{x}\alpha _{x-1}\right)\mathrm {T} _{x-2}+\ldots \\&-{\frac {^{n-1}\!\mathrm {H} _{x}}{\alpha _{x-n+1}}}\mathrm {T} _{x-n+1}+\mathrm {X} _{x},\end{aligned}}\right.$

(E)

$0=1-{\frac {\mathrm {H} _{x}}{\alpha _{x}}}-{\frac {^{1}\!\mathrm {H} _{x}}{\alpha _{x}\alpha _{x-1}}}-{\frac {^{2}\!\mathrm {H} _{x}}{\alpha _{x}\alpha _{x-1}\alpha _{x-2}}}-\ldots -{\frac {^{n-1}\!\mathrm {H} _{x}}{\alpha _{x}\ldots \alpha _{x-n+1}}}.$

Les équations (D) et (E) sont d’un degré inférieur à la proposée, et l’équation (D) est de la même forme ; or il n’est pas nécessaire d’intégrer généralement ces équations pour intégrer l’équation (B) du problème ; il suffit de connaître pour $\alpha _{x}$ une quantité qui satisfasse à l’équation (E). Je nomme $\delta _{x}$ cette valeur ; on la substituera dans l’équation (D), que je nomme (D’) après cette substitution, et l’on cherchera l’intégrale complète de l’équation (D’) ; ensuite, au moyen de l’équa-