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tion $y_{x}=\delta _{x}y_{x-1}+\mathrm {T} _{x},$ on conclura, en intégrant par le problème I,

$y_{x}=\nabla \delta _{x}\left(\mathrm {A} +\sum {\frac {\mathrm {T} _{x+1}}{\nabla \delta _{x+1}}}\right),$

$\mathrm {A}$ étant une constante arbitraire.

Cette équation est l’intégrale complète de l’équation (B), car, l’équation (D’) étant nécessairement de l’ordre $n-1,$ l’expression complète de $\mathrm {T} _{x}$ renferme $n-1$ constantes arbitraires irréductibles ; partant, $\nabla \delta _{x}\left(\mathrm {A} +\sum {\frac {\mathrm {T} _{x+1}}{\nabla \delta _{x+1}}}\right)$ renferme $n$ constantes arbitraires. Ces constantes sont de plus irréductibles, car $\nabla \delta _{x}\sum {\frac {\mathrm {T} _{x+1}}{\nabla \delta _{x+1}}}$ en renferme $n-1$ d’irréductiles, et aucune d’elles n’est réductible avec la constante $\mathrm {A} .$

L’expression précédente de $y_{x}$ peut servir à faire connaître l’intégrale de l’équation (B) du problème ; car, puisque l’équation (D’) est linéaire, on peut supposer que l’expression de $\mathrm {T} _{x}$ a cette forme

$\mathrm {T} _{x}=\nabla \delta _{x}\left(^{1}\!\mathrm {A} +\sum {\frac {^{1}\!\mathrm {T} _{x+1}}{\nabla \lambda _{x+1}}}\right),$

$^{1}\!\mathrm {T} _{x}$ dépendant de l’intégration d’une équation linéaire de l’ordre $n-2\,;$ on a donc

$y_{x}=\nabla \delta _{x}\left[\mathrm {A} +^{1}\!\mathrm {A} \sum {\frac {\nabla \lambda _{x+1}}{\nabla \delta _{x+1}}}+\sum {\frac {\sum {\cfrac {^{1}\!\mathrm {T} _{x+1}}{\nabla \lambda _{x+1}}}}{\nabla \delta _{x+1}}}\right]\,;$

en continuant de raisonner ainsi, on verra que l’expression de $y_{x}$ est de cette forme

$y_{x}=\mathrm {A} \nabla \delta _{x}+^{1}\!\mathrm {A} \nabla \,^{1}\!\delta _{x}+^{2}\!\mathrm {A} \nabla \,^{2}\!\delta _{x}+\ldots +^{n-1}\!\mathrm {A} \nabla \,^{n-1}\!\delta _{x}+\mathrm {L} _{x},$

$\mathrm {A,\,^{1}\!A,\,^{2}\!A} ,\ldots$ étant arbitraires.

Si l’on suppose $\mathrm {X} _{x}=0$ dans l’équation (B), il est aisé de voir, par la suite des opérations que je viens d’indiquer, que $\mathrm {L} _{x}$ sera nul ; ainsi, dans ce cas,

$y_{x}=\mathrm {A} \nabla \delta _{x}+^{1}\!\mathrm {A} \nabla \,^{1}\!\delta _{x}+\ldots +^{n-1}\!\mathrm {A} \nabla \,^{n-1}\!\delta _{x}.$

$\delta _{x}$ satisfait par la supposition pour $\alpha _{x}$ dans l’équation (E) ; $^{1}\!\delta _{x},^{2}\!\delta _{x},\ldots$ y satisferont pareillement ; car, puisque l’équation $y_{x}=\nabla \,^{1}\!\delta _{x},$