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par exemple, satisfait à équation (B) en y supposant $X_{x}=0,$ on aura

$\nabla \,^{1}\!\delta _{x}=\mathrm {H} _{x}\nabla \,^{1}\!\delta _{x-1}+^{1}\!\mathrm {H} _{x}\nabla _{x}\,^{1}\!\delta _{x-2}+\ldots ,$

partant

$0=1-{\frac {\mathrm {H} _{x}}{^{1}\!\delta _{x}}}-{\frac {^{1}\!\mathrm {H} _{x}}{^{1}\!\delta _{x}^{1}\!\delta _{x-1}}}-\ldots .$

Je suppose, dans les équations (D’) et (B), $\mathrm {X} _{x}=0\,;$ j’aurai les deux expressions suivantes de $y_{x}\,;$

(1)

$y_{x}=\nabla \delta _{x}\left(\mathrm {A} +\sum {\frac {\mathrm {T} _{x+1}}{\nabla \delta _{x+1}}}\right),$

(2)

$y_{x}=\mathrm {A} \nabla \delta _{x}+^{1}\!\mathrm {A} \nabla \,^{1}\!\delta _{x}+^{2}\!\mathrm {A} \nabla \,^{2}\!\delta _{x}+\ldots +^{n-1}\!\mathrm {A} \nabla \,^{n-1}\!\delta _{x}.$

Ces deux expressions, différentes en apparence, doivent réellement coïncider ; je suppose donc que l’intégrale complète de l’équation (D’) soit

$\mathrm {T} =^{1}\!\mathrm {AR} _{x}+^{1}\!\mathrm {A} ^{1}\!\mathrm {R} _{x}+\ldots +^{n-1}\!\mathrm {A} ^{n-2}\!\mathrm {R} _{x}\,;$

en substituant cette valeur de $\mathrm {T} _{x},$ dans l’équation (1), on aura

$y_{x}=\nabla \delta _{x}$

$\times \left(\mathrm {A} +^{1}\!\mathrm {A} \sum {\frac {\mathrm {R} _{x+1}}{\nabla \delta _{x+1}}}+^{2}\!\mathrm {A} \sum {\frac {^{1}\!\mathrm {R} _{x+1}}{\nabla \delta _{x+1}}}+\ldots +^{n-1}\!\mathrm {A} \sum {\frac {^{n-2}\!\mathrm {R} _{x+1}}{\nabla \delta _{x+1}}}\right).$

En comparant cette dernière équation avec l’équation (2), on aura

${\begin{aligned}\nabla \delta _{x}\sum {\frac {\mathrm {R} _{x+1}}{\nabla \delta _{x+1}}}=&\nabla \,^{1}\!\delta _{x},\\\nabla \delta _{x}\sum {\frac {^{1}\!\mathrm {R} _{x+1}}{\nabla \delta _{x+1}}}=&\nabla \,^{2}\!\delta _{x},\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \end{aligned}}$

Donc

${\begin{aligned}\mathrm {R} _{x}=&\nabla \delta _{x}\Delta {\frac {\nabla \,^{1}\!\delta _{x-1}}{\nabla \delta _{x-1}}},\\^{1}\!\mathrm {R} _{x}=&\nabla \delta _{x}\Delta {\frac {\nabla \,^{2}\!\delta _{x-1}}{\nabla \delta _{x-1}}},\\^{2}\!\mathrm {R} _{x}=&\nabla \delta _{x}\Delta {\frac {\nabla \,^{3}\!\delta _{x-1}}{\nabla \delta _{x-1}}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$