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Donc, si je sais résoudre l’équation (B) en y supposant $\mathrm {X} _{x}=0,$ je saurai résoudre l’équation (D’) en y supposant pareillement $\mathrm {X} _{x}=0.$ Soient alors $u_{x},^{1}\!u_{x},^{2}\!u_{x},\ldots$ les valeurs particulières de $y_{x}$ dans l’équation (B), en sorte que son intégrale complète soit

$y_{x}=\mathrm {A} u_{x}+^{1}\!\mathrm {A} \,^{1}\!u_{x}+^{2}\!\mathrm {A} \,^{2}\!u_{x}+^{n-1}\!\mathrm {A} \,^{n-1}\!u_{x},$

on aura

$u_{x}=\nabla \delta _{x},\qquad ^{1}\!u_{x}=\nabla \,^{1}\!\delta _{x},\qquad \ldots ,$

et l’intégrale complète de l’équation (D’), en y supposant $\mathrm {X} _{x}=0$ sera

$\mathrm {T} _{x}=^{1}\!\mathrm {A} u_{x}\Delta {\frac {^{1}\!u_{x-1}}{u_{x-1}}}+^{2}\!\mathrm {A} u_{x}\Delta {\frac {^{2}\!u_{x-1}}{u_{x-1}}}+\ldots +^{n-1}\!\mathrm {A} u_{x}\Delta {\frac {^{n-1}\!u_{x-1}}{u_{x-1}}}.$

Présentement, si je sais intégrer l’équation (D’) en y supposant $\mathrm {X} _{x}=0$ quelconque, je pourrai, dans la même supposition, intégrer l’équation (B), puisque l’on a, par ce qui précède.

$y_{x}=u_{x}\left(\mathrm {A} +\sum {\frac {\mathrm {T} _{x+1}}{u_{x+1}}}\right)\,;$

donc la difficulté d’intégrer l’équation

(B)

$y_{x}=\mathrm {H} _{x}y_{x-1}+^{1}\!\mathrm {H} _{x}y_{x-2}+\ldots +^{n-1}\!\mathrm {H} _{x}y_{x-n}+\mathrm {X} _{x},$

lorsqu’on sait intégrer celle-ci

$(b)\qquad \qquad y_{x}=\mathrm {H} _{x}y_{x-1}+^{1}\!\mathrm {H} _{x}y_{x-2}+\ldots +^{n-1}\!\mathrm {H} _{x}y_{x-n},$

se réduit à intégrer l’équation

(D’)

$\mathrm {T} _{x}=\left(\mathrm {H} -\delta _{x}\right)\mathrm {T} _{x-1}+\ldots -{\frac {^{n-1}\!\mathrm {H} _{x}}{\delta _{x-n+1}}}\mathrm {T} _{x-n+1}+\mathrm {X} _{x},$

qui est du degré $n-1,$ et que l’on sait intégrer en y supposant $\mathrm {X} _{x}=0\,;$ on fera pareillement dépendre l’intégration de (D’) de l’intégration d’une équation du degré $n-2,$ et ainsi de suite ; d’où il résulte que l’équation

$y_{x}=\mathrm {H} _{x}y_{x-1}+^{1}\!\mathrm {H} _{x}y_{x-2}+\ldots +^{n-1}\!\mathrm {H} _{x}y_{x-n}+\mathrm {X} _{x}$

est intégrale dans les mêmes cas que celle-ci

$y_{x}=\mathrm {H} _{x}y_{x-1}+\ldots +^{n-1}\!\mathrm {H} _{x}y_{x-n}.$