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Le procédé que je viens d’indiquer pour ramener l’intégrale de l’équation (B) à celle de l’équation $(b)$ peut servir à démontrer la liaison qu’ont entre elles ces deux intégrales ; mais il serait fort pénible de l’employer à intégrer l’équation (B). Il serait donc très utile d’avoir immédiatement l’expression générale de $y_{x}$ dans l’équation (B), lorsqu’on a celle de l’équation $(b).$

Je reprends pour cela l’équation

$y_{x}=u_{x}\left(\mathrm {A} +\sum {\frac {\mathrm {T} _{x+1}}{u_{x+1}}}\right),$

$T_{x}$ étant supposé être l’expression complète de $T_{x}$ dans l’équation (D’). Or, cette équation (D’) étant de la même forme que l’équation (B), si l’on nomme ${\overset {1}{u}}_{x},^{1}\!{\overset {1}{u}}_{x},^{2}\!{\overset {1}{u}}_{x},\ldots$ les intégrales particulières de $\mathrm {T} _{x}$ dans l’équation (D’), lorsqu’on y suppose $\mathrm {X} _{x}=0,$ on aura, de la même manière et quel que soit $\mathrm {X} _{x},$

$\mathrm {T} _{x}={\overset {1}{u}}_{x}\left(^{1}\!\mathrm {A} +\sum {\frac {^{1}\!\mathrm {T} _{x+1}}{{\overset {1}{u}}_{x+1}}}\right),$

$^{1}\!\mathrm {T} _{x}$ étant l’expression complète de $^{1}\!\mathrm {T} _{x}$ dans une équation de l’ordre $n-2,$ que je nomme (\mathrm D") et qui résulte de l’équation (D’) de la même manière que celle-ci résulte de l’équation (B) ; on aura semblablement

$^{1}\!\mathrm {T} _{x}={\overset {2}{u}}_{x}\left(^{2}\!\mathrm {A} +\sum {\frac {^{2}\!\mathrm {T} _{x+1}}{{\overset {2}{u}}_{x+1}}}\right),$

et ainsi de suite jusqu’à ce qu’on parvienne à l’équation du premier ordre

$^{n-2}\!\mathrm {T} _{x}=\mathrm {S} _{x}\,^{n-2}\!\mathrm {T} _{x-1}+\mathrm {X} _{x},$

dont l’intégrale est

$^{n-2}\!\mathrm {T} _{x}={\overset {n-1}{u}}_{x}\left(^{n-1}\!\mathrm {A} +\sum {\frac {\mathrm {X} _{x+1}}{{\overset {n-1}{u}}_{x+1}}}\right).$

Si l’on substitue présentement dans l’expression de $y_{x}$ la valeur de