mais on a dans ce cas
![{\displaystyle y_{x}=\mathrm {A} u_{x}+^{1}\!\mathrm {A} u_{x}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3e2fe63614f24f83913d5f26647ae789a7d7fc5)
partant
![{\displaystyle y_{x}=\lambda _{x}y_{x}+^{1}\!\lambda _{x}y_{x-1}+\ldots +^{n-1}\!\lambda _{x}y_{x-n+1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd8f4ee84bd46841572a68efcddc276127826916)
Or cette équation doit être identique, car autrement, quoique de l’ordre
son intégrale renfermerait les
constantes arbitraires que renferme l’expression complète de
on a donc pour l’intégrale complète de l’équation (B) du Problème II, quel que soit ![{\displaystyle \mathrm {X} _{x},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac49fbef9a05cd10381f27e91f62e63ad4888729)
![{\displaystyle {\begin{aligned}y_{x}=&u_{x}\left(\mathrm {A} +\sum {\frac {\mathrm {X} _{x+1}}{z_{x+1}}}\right)\\+&^{1}\!u_{x}\left(^{1}\!\mathrm {A} +\sum {\frac {\mathrm {X} _{x+1}}{^{1}\!z_{x+1}}}\right)\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\+&^{n-1}\!u_{x}\left(^{n-1}\!\mathrm {A} +\sum {\frac {\mathrm {X} _{x+1}}{^{n-1}\!z_{x+1}}}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3535641596c229f1589f611193df6a4de3e55419)
De là résulte cette règle fort simple, pour avoir l’intégrale complète de l’équation
![{\displaystyle y_{x}=\mathrm {H} _{x}y_{x-1}+^{1}\!\mathrm {H} _{x}y_{x-2}+\ldots +^{n-1}\!\mathrm {H} _{x}y_{x-n}+\mathrm {X} _{x},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff1e0d631ac6f049594661d355773946752ef55f)
lorsqu’on sait intégrer celle-ci :
![{\displaystyle y_{x}=\mathrm {H} _{x}y_{x-1}+^{1}\!\mathrm {H} _{x}y_{x-2}+\ldots +^{n-1}\!\mathrm {H} _{x}y_{x-n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9dc3f45450a5a6171db64e7873a886f9ba73541)
Soit
![{\displaystyle y_{x}=\mathrm {A} u_{x}+^{1}\!\mathrm {A} \,^{1}\!u_{x}+^{2}\!\mathrm {A} \,^{1}\!u_{x}+\ldots +^{n-1}\!\mathrm {A} \,^{n-1}\!u_{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a3d578610d532d54bfea66870d268045256d8c3)
l’intégrale de cette dernière, et que l’on fasse
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\overset {1}{u}}_{x}=&u_{x}\Delta {\frac {^{1}\!u_{x-1}}{u_{x-1}}},\qquad &{\overset {2}{u}}_{x}=&{\overset {1}{u}}_{x}\Delta {\frac {^{1}\!{\overset {1}{u}}_{x-1}}{{\overset {1}{u}}_{x-1}}},\qquad &{\overset {3}{u}}_{x}=&{\overset {2}{u}}_{x}\Delta {\frac {^{1}\!{\overset {2}{u}}_{x-1}}{{\overset {2}{u}}_{x-1}}},\\^{1}\!{\overset {1}{u}}_{x}=&u_{x}\Delta {\frac {^{2}\!u_{x-1}}{u_{x-1}}},\qquad &^{1}\!{\overset {2}{u}}_{x}=&{\overset {1}{u}}_{x}\Delta {\frac {^{2}\!{\overset {1}{u}}_{x-1}}{{\overset {1}{u}}_{x-1}}},\qquad &\ldots &\ldots \ldots \ldots ,\\^{2}\!{\overset {1}{u}}_{x}=&u_{x}\Delta {\frac {^{3}\!u_{x-1}}{u_{x-1}}},\qquad &^{2}\!{\overset {2}{u}}_{x}=&{\overset {1}{u}}_{x}\Delta {\frac {^{3}\!{\overset {1}{u}}_{x-1}}{{\overset {1}{u}}_{x-1}}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29d257f9c70b068e40674ff52effa564adda3662)
jusqu’à ce que l’on parvienne à former
soit
Si, dans