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que, dans la question présente, $\mathrm {F}$ est fonction de $f,\ \mathrm {F} '$ est fonction de $f',$ et ainsi de suite ; le second membre de l’équation précédente est, par conséquent, une différentielle exacte ; le premier membre doit donc l’être pareillement, le temps Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikisource.org/v1/ » :): {\displaystyle t} étant regardé comme constant. Partant, la quantité

${\begin{aligned}s^{2}\delta \theta &\left({\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}-2n{\frac {dv}{dt}}\sin \theta \cos \theta \right)\\+&s^{2}\delta \varpi \left(\sin ^{2}\theta {\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}+2n\sin \theta \cos \theta {\frac {du}{dt}}\right)-2ns\delta s\sin ^{2}\theta {\frac {dv}{dt}}\end{aligned}}$

est elle-même une différence exacte, ce qui produit les deux équations suivantes :

${\begin{aligned}&{\frac {\partial \left({\cfrac {d^{2}u}{dt^{2}}}-2n\sin \theta \cos \theta {\cfrac {dv}{dt}}\right)}{\partial \varpi }}={\frac {\partial \left(\sin ^{2}\theta {\cfrac {d^{2}v}{dt^{2}}}+2n\sin \theta \cos \theta {\cfrac {du}{dt}}\right)}{\partial \theta }},\\&{\frac {\partial \left(s^{2}{\cfrac {d^{2}u}{dt^{2}}}-2ns^{2}\sin \theta \cos \theta {\cfrac {dv}{dt}}\right)}{\partial s}}=-2ns{\frac {\partial \left(\sin ^{2}\theta {\cfrac {dv}{dt}}\right)}{\partial \theta }}.\end{aligned}}$

En intégrant ces équations par rapport à $t,$ et observant que, à l’origine du mouvement, on a

$u=0,\qquad {\frac {du}{dt}}=0,\qquad v=0\qquad {\text{et}}\qquad {\frac {dv}{dt}}=0,$

on aura

(4)

${\frac {\partial \left({\cfrac {du}{dt}}-2nv\sin \theta \cos \theta \right)}{\partial \varpi }}={\cfrac {\partial \left(\sin ^{2}\theta {\cfrac {dv}{dt}}+2nu\sin \theta \cos \theta \right)}{\partial \theta }},$

(5)

${\frac {\partial \left(s^{2}{\cfrac {\partial u}{\partial t}}-2ns^{2}v\sin \theta \cos \theta \right)}{\partial s}}=-2ns{\cfrac {\partial \left(v\sin ^{2}\theta \right)}{\partial \theta }},$

et ces deux équations tiendront lieu de l’équation (3), parce que, $p$ étant indéterminé, si ces équations sont satisfaites, on pourra déterminer $p$ de manière que l’équation (3) soit pareillement satisfaite ; mais, $p$ disparaissant, comme on l’a vu, de l’équation à la surface supérieure, il faut, pour les points de cette surface, non seulement que les