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équations (4) et(5) soient satisfaites, mais que l’équation (3) le soit encore, en y supposant $\delta p=0\,;$ voyons ce que devient alors cette équation.

V.

Soit $\mathrm {G}$ l’attraction du sphéroïde et du fluide à l’origine du mouvement sur un point $m$ de la surface, pour lequel l’angle $m\mathrm {C} a$ était égal à $\theta +\alpha u,$ le rayon $\mathrm {C} m$ égal à $1+q\lambda +l\gamma +\alpha qu{\frac {\partial \lambda }{\partial \theta }}+\alpha lu{\frac {\partial \gamma }{\partial \theta }},$ et la longitude égale à $\varpi +nt+\alpha v\,;$ soit encore ϐ la droite suivant laquelle agit cette attraction ; cette droite coïncide avec le rayon $\mathrm {C} m,$ aux quantités près de l’ordre $q,$ en sorte que si l’on fait, pour abréger, $\mathrm {C} m=s',$ on pourra supposer

$\delta {\text{ϐ}}=\delta s'+q\delta \mathrm {N} ,$

$\mathrm {N}$ étant fonction de $\theta \,;$ maintenant, dans l’équation (3), on a pour le cas de l’équilibre

${\frac {du}{dt}}=0,\qquad {\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}=0,\qquad {\frac {dv}{dt}}=0,\qquad {\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}=0\,;$

de plus, comme il s’agit d’un point placé à la surface, il y faut supposer $\delta p=0\,;$ si donc l’on observe que dans ce cas $s+\alpha r=s'$ et que la somme des termes $\mathrm {F} \delta f+\mathrm {F} '\delta f'+\ldots$ est égale à l’attraction du sphéroïde et du fluide multipliée par l’élément de sa direction et, par conséquent, égale à $\mathrm {G} (\delta s'+q\delta \mathrm {N} ),$ on aura

${\frac {n^{2}}{2}}\delta \left[s'\sin(\theta +\alpha u)\right]^{2}=\mathrm {G} (\delta s'+q\delta \mathrm {N} ).$

Lorsque le point $\mathrm {N}$ arrive pendant l’oscillation sur le rayon $\mathrm {C} m,$ il ne se trouve point à la distance $s'$du centre $\mathrm {C} ,$ mais à la distance $s+\alpha r\,;$ la différence est $s+\alpha r-s'$ ou $\alpha \left(r-qu{\frac {\partial \lambda }{\partial \theta }}-lu{\frac {\partial \gamma }{\partial \theta }}\right)\,;$ soit

$r-qu{\frac {\partial \lambda }{\partial \theta }}-lu{\frac {\partial \gamma }{\partial \theta }}=y\,;$

en sorte que $\alpha y$ exprime la hauteur du point $\mathrm {N}$ du fluide au-dessus