supposons
![{\displaystyle {\begin{aligned}c\quad &=\sin ^{2}\theta \left(p+p^{(1)}\sin ^{2}\theta +p^{(2)}\sin ^{4}\theta +\ldots ++p^{(r)}\sin ^{(2r)}\theta \right),\\c^{(1)}&=\sin \theta \cos \theta ({\text{ϐ}}+{\text{ϐ}}^{(1)}\sin ^{2}\theta +{\text{ϐ}}^{(2)}\sin ^{4}\theta +\ldots ++{\text{ϐ}}^{(r-1)}\sin ^{2r-2}\theta ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2779b2f2e7e5d8531d9142dcdf340d7df3b98d8c)
étant des coefficients constants qu’il s’agit de déterminer. Si l’on substitue ces valeurs de
et de
dans la cinquième des équations (L), et que l’on ordonne cette équation par rapport aux puissances de
on aura d’abord, en comparant les termes qui ne renferment point ![{\displaystyle \sin \theta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b5bdb257898f9bbb9a29bd0997cd1389223fa25)
(25)
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et si l’on divise tous les autres termes de l’équation par
on aura une équation de cette forme
![{\displaystyle {\begin{aligned}&p+p^{(1)}\sin ^{2}\theta +p^{(2)}\sin ^{4}\theta +\ldots +p^{(r)}\sin ^{(2r)}\theta \\=&\mathrm {D} +\mathrm {D} ^{(1)}\sin ^{2}\theta +\mathrm {D} ^{(2)}\sin ^{4}\theta +\ldots +\mathrm {D} ^{(r)}\sin ^{(2r)}\theta ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/390b40d809f0b53dd0c623e32f8fec3c6fc0937c)
étant des fonctions de
et de
très faciles à déterminer, et l’on trouvera
![{\displaystyle \mathrm {D} ^{(r)}=q{\text{ϐ}}^{(r-1)}{\frac {2ri-2n+3i}{i}}+{\frac {gqp^{(r)}}{i^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62d596a17174ff3eba15b94e9d12cea9b5bcf143)
En comparant les coefficients des différentes puissances de
on a
![{\displaystyle p=\mathrm {D} ,\qquad p^{(1)}=\mathrm {D} ^{(1)},\qquad p^{(2)}=\mathrm {D} ^{(2)},\qquad ,\ldots ,\qquad p^{(r)}=\mathrm {D} ^{(r)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc12af4c8e51e558c7a5ace4e99da85863a06ae1)
ou, en substituant au lieu de
(r) sa valeur,
(26)
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si l’on substitue pareillement au lieu de
et de
leurs valeurs dans la sixième des équations (L), en la divisant par
et l’ordonnant ensuite par rapport aux différentes puissances de
on aura une équation de cette forme
![{\displaystyle \left(4n^{2}-4i^{2}\right){\text{ϐ}}+\left[\left(4n^{2}-4i^{2}\right){\text{ϐ}}^{(1)}-4n^{2}{\text{ϐ}}\right]\sin ^{2}\theta +\ldots -4n^{2}{\text{ϐ}}^{(r-1)}\sin ^{2r}\theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ba6ab736026fcae6f52bde56c0b24de48643316)
![{\displaystyle =\mathrm {E} +\mathrm {E} ^{(1)}\sin ^{2}\theta +\mathrm {E} ^{(2)}\sin ^{4}\theta +\ldots +\mathrm {E} ^{(r)}\sin ^{(2r)}\theta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72981c3c4b35f35766f976a4659664ce073b4c9f)