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La valeur de $q,$ que nous venons de trouver, étant la même que celle que nous avons trouvée ci-dessus, lorsqu’il s’agissait de satisfaire à la troisième et à la quatrième des équations (L), il en résulte que les valeurs précédentes de $b,b^{(1)},c$ et $c^{(1)}$ ont été bien choisies ; si l’on reprend maintenant la valeur précédente de $y,$ et que l’on considère que l’on a

$\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }y\sin \theta d\theta d\varpi =0,$

on trouvera facilement que la constante arbitraire $\mathrm {F}$ de l’expression de $a$ est égale à ${\frac {\mathrm {K} }{6g}}\left(\cos ^{2}\nu -{\frac {1}{2}}\sin ^{2}\nu \right)\,;$ partant, on a

${\begin{aligned}y=&{\frac {\mathrm {K} }{6g}}\left(\cos ^{2}\nu -{\frac {1}{2}}\sin ^{2}\nu \right)(1+3\cos 2\theta )\\&+\sin \theta \cos \theta \cos(it+\varpi )\left(f+f^{(1)}\sin ^{2}\theta +\ldots +f^{(r)}\sin ^{2r}\theta \right)\\&+\sin ^{2}\theta \cos(2it+2\varpi )\left(p+p^{(1)}\sin ^{2}\theta +\ldots +p^{(r)}\sin ^{2r}\theta \right)\,;\end{aligned}}$

on aura ensuite la vitesse horizontale $\alpha {\frac {du}{dt}}$ fluide dans le sens du méridien, en considérant que

${\begin{aligned}{\frac {du}{dt}}&=i{\frac {\partial u}{\partial \varpi }}=-i\sin(it+\varpi )\left(e^{(1)}\sin ^{2}\theta +e^{(2)}\sin ^{4}\theta +\ldots +e^{(r)}\sin ^{2r}\theta \right)\\&-2i\sin(2it+2\varpi \sin \theta \cos \theta )\left({\text{ϐ}}+{\text{ϐ}}^{(1)}\sin ^{2}\theta +\ldots +{\text{ϐ}}^{(r-1)}\sin ^{2r-2}\theta \right)\,;\end{aligned}}$

enfin l’équation (/) donnera la vitesse du fluide dans le sens du parallèle, en observant que cette vitesse est égale à $\alpha {\frac {dv}{dt}}\sin \theta =\alpha i-{\frac {\partial v}{\partial \varpi }}\sin \theta .$

Si l’on applique maintenant à la valeur précédente de $y$ la méthode de l’article XIV, on s’assurera facilement qu’elle doit être admise en entier, ainsi que les valeurs correspondantes que nous avons trouvées pour ${\frac {du}{dt}}$ et ${\frac {dv}{dt}},$ et que ces valeurs sont les seules que l’on doive admettre dans la question présente ; comme ce calcul ne présente aucune difficulté d’après ce que nous avons dit article XIV, nous ne nous y arrêterons pas.